problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (343)

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Caṕıtulo 10. Aplicaciones lineales
y en consecuencia, la matriz pedida es 1 32 0
−1 2
[1 2 0
4 0 −1
]
=
13 2 −32 4 0
7 −2 −2
 .
2. La aplicación dada no está referida a bases, lo cual equivale a considerar
la base canónica en el espacio inicial y en el final. La dimensión de la imagen
es
dim(Im f) = rg
[
3 −1
4 2
]
= 2 = dimR2
es decir, f es sobreyectiva y por el teorema de las dimensiones para aplica-
ciones lineales, dim(ker f) = 0, luego f también es inyectiva. Como la matriz
del isomorfismo inverso es la inversa de la matriz:
f−1
[
y1
y2
]
=
[
3 −1
4 2
]−1 [
y1
y2
]
=
1
10
[
2 1
−4 3
] [
y1
y2
]
.
3. 1) Si y ∈ Im(g ◦ f), entonces existe u ∈ E tal que y = (g ◦ f)(u), luego
y = g[f(u)] lo cual implica que y ∈ Im g.
2) Si x ∈ ker f, entonces f(x) = 0 y por tanto (g◦f)(x) = g[f(x)] = g(0) = 0,
es decir x ∈ ker(g ◦ f).
4. Para todo λ, µ ∈ K, para todo x, y ∈ E, y usando la linealidad de g y f :
(g ◦ f) (λx+ µy) = g [f (λx+ µy)] = g [λf(x) + µf(y)]
= λg [f(x)] + µg [f(y)] = λ (g ◦ f) (x) + µ (g ◦ f) (y)
es decir, g ◦ f es lineal.
5. Llamemos M = [f ]BFBE , N = [g]
BG
BF
. La ecuación matricial de f en las bases
BE y BF es
Y = MX, (X coord. de x en BE , Y coord. de y = f(x) en BF ).
La ecuación matricial de g en las bases BF y BG es
Z = NY, (Y coord. de y en BF , Z coord. de z = g(y) en BG).
Las anteriores relaciones implican
Z = N(MX) = (NM)X,
(X coord. de x en BE , Z coord. de z = g(y) = g[f(x)] = (g ◦f)(x) en BG).