problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (348)

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10.12 Cambio de base, matrices equivalentes
Transponiendo coeficientes: Ā =
[
−1 1
3 −2
]
.
(d) Hallemos los transformados de los elementos de D en función de los de
B′ {
i(2, 1,−1) = (2, 1,−1) = 2(1, 0, 0) + 1(0, 1, 0)− (0, 0, 1),
i(1, 1, 1) = (1, 1, 1) = 1(1, 0, 0) + 1(0, 1, 0) + 1(0, 0, 1).
Transponiendo coeficientes: I1 =
 2 11 1
−1 1
 .
(e) Comprobemos que I1ĀN = A. En efecto:
I1ĀN =
 2 11 1
−1 1
[−1 1
3 −2
] [
2 −1 1 0
3 −1 0 1
]
=
1 02 −1
4 −3
[2 −1 1 0
3 −1 0 1
]
=
 2 −1 1 01 −1 2 −1
−1 −1 4 −3
 = A.
Era de esperar esta igualdad como consecuencia de la conocida fórmula que
relaciona la matriz de la composición de aplicaciones lineales con el producto
de las respectivas matrices: [h ◦ g]B3B1 = [h]
B3
B2
· [g]B2B1 .
10.12. Cambio de base, matrices equivalentes
1. Calcular los valores de a ∈ R para los cuales son equivalentes las matrices
reales:
A =
[
1 2 3
1 1 0
]
, B =
[
1 1 5
1 1 a
]
.
2. Sea f : R2 → R3 la aplicación lineal cuya matriz respecto de unas
bases BR2 = {u1, u2} y BR3 = {v1, v2, v3} es A =
[
1 −1 3
2 0 3
]
. Hallar
la matriz de f respecto de las nuevas bases B′R2 = {u1 + u2, u1 − u2} y
B′R3 = {v1, v1 + v2, v1 + v2 + v3}.
3. Sea T : R2 → R2 la aplicación lineal dada por
T (2,−1) = (1, 1), T (3, 1) = (2, 4).
Hallar la matriz de T en la base canónica de R2.
	 Aplicaciones lineales
	 Cambio de base, matrices equivalentes