problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (353)

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Caṕıtulo 10. Aplicaciones lineales
y transponiendo coeficientes:
A =
−1 1 0 00 0 2 0
0 0 0 3
 .
El rango de la matriz A es 3, por tanto buscamos bases C = {u1, u2, u3, u4}
y C ′ = {v1, v2, v3} de R3[x] y R2[x] respectivamente tales que la matriz de
f en estas bases sea: 1 0 0 00 1 0 0
0 0 1 0
 = [I3 0] ,
es decir las bases buscadas han de verificar
f(u1) = v1
f(u2) = v2
f(u3) = v3
f(u4) = 0.
El vector u4 ha de pertenecer al núcleo de f. Hallamos una base del mismo,
y obtenemos u4 = (1, 1, 0, 0)
t (en coordenadas en B). Los vectores v1, v2, v3
han de pertenecer a la imagen de f . Hallando una base de esta, obtene-
mos v1 = (1, 0, 0)
t, v2 = (0, 2, 0)
t, v3 = (0, 0, 3)
t (en coordenadas en B′)
e inmediatamente u1 = (0, 1, 0, 0)
t, u2 = (0, 0, 1, 0)
t, u3 = (0, 0, 0, 1)
t (en
coordenadas en B).
Por tanto, unas bases de R3[x] y R2[x] para que la matriz asociada a f es
de la forma [
Ir 0
0 0
]
son
C =
{
(0, 1, 0, 0)t, (0, 0, 1, 0)t, (0, 0, 0, 1)t, (1, 1, 0, 0)t
}
,
C ′ =
{
(1, 0, 0)t, (0, 2, 0)t, (0, 0, 3)t
}
.
en coordenadas en B y B′ respectivamente. Es decir, son
C =
{
x, x2, x3, 1 + x
}
, C ′ =
{
1, 2x, 3x2
}
.
Verifiquemos el resultado,
f(x) = −0 + 1 = 1 = 1 + 0 · (2x) + 0 · (3x2)
f(x2) = −0 + 2x = 2x = 0 + 1 · (2x) + 0 · (3x2)
f(x3) = −0 + 3x2 = 3x2 = 0 + 0 · (2x) + 1 · (3x2)
f(1 + x) = −1 + 1 = 0 = 0 + 0 · (2x) + 0 · (3x2),