problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (375)

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Caṕıtulo 10. Aplicaciones lineales
Concluimos que {e′1, e′2, e′3} es efectivamente base de R3.
(d) La matriz de cambio de la base canónica a la {e′1, e′2, e′3} es
P =
cos θ 0 1sin θ −1 0
0 − sin θ cos θ
 .
Por un conocido teorema, la matriz de f en la nueva base {e′1, e′2, e′3} es
P−1AP. Operando obtenemos
P−1AP =
 0 0 0cos θ sin θ cos θ sin2 θ
sin θ − cos2 θ − sin θ cos θ
 .
10.21. Hiperplanos
Sea V un espacio vectorial real de dimensión n > 1. Se dice que H es un
hiperplano de V cuando H es un subespacio vectorial de dimensión n − 1.
Se pide:
(a) Determinar cuales de los subconjuntos H1, H2, H3, H4 del espacio vec-
torial R3 son subespacios, y cuales hiperplanos. Justificar las respuestas.
H1 = {(x, x, x) : x ∈ R}, H2 = {(x, x, y) : x ∈ R, y ∈ R},
H3 = {(x, x, 0) : x ∈ R}, H4 = {(x, x, 1) : x ∈ R}.
(b) Sea f : V → R una forma lineal no idénticamente nula. Demostrar que
entonces el núcleo de f es un hiperplano de V.
(c) Enunciar la proposición rećıproca de la anterior, y estudiar su validez
(en caso afirmativo da una demostración, y en caso contrario construir un
contraejemplo.
(Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. de Montes, UPM).
Solución. (a) Un vector pertenece a H1 si y sólo si es de la forma x(1, 1, 1)
con x ∈ R. Es decir, H1 = L[(1, 1, 1)], y sabemos que todo subconjunto
de un espacio vectorial de la forma L[S] es subespacio. Además, (1, 1, 1) es
linealmente independiente y genera a H1 lo cual implica que {(1, 1, 1)} es
base de H1 y por tanto dimH1 = 1. Concluimos que H1 es hiperplano de R3.
De manera análoga, H2 = L[(1, 1, 0), (0, 0, 1)], es decir H2 es subespacio de
R3. Los vectores anteriores son linealmente independientes y generan H2.
Entonces, dimH2 = 2 lo cual implica que H2 no es un hiperplano de R3.
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