problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (379)

Vista previa del material en texto

Caṕıtulo 10. Aplicaciones lineales
f es sobreyectiva ⇒ Imf = F = ker g ⇒
Img = {0} = kerh⇒ h es inyectiva.
h es inyectiva ⇒ kerh = {0} = Img ⇒
ker g = F = Imf ⇒ f es sobreyectiva.
La proposición es por tanto válida.
10.24. Endomorfismo en un subespacio de C(R).
En el espacio vectorial C(R) de las funciones continuas de R en R se consi-
deran φ1, φ2, φ3 definidas ∀x ∈ R por:
φ1(x) = 1, φ2(x) = x, φ3(x) = x log |x| si x 6= 0, φ3(0) = 0.
1. Probar que B = (φ1, φ2, φ3) es una familia libre en C(R). Si E es el
subespacio vectorial de C(R) generado por B, demostrar que la funcion φ :
R→ R definida por: φ(x) = 1 + x− x log |x| si x 6= 0, φ(0) = 0 pertenece a
E y hallar sus coordenadas en la base B.
2. Sea f el endomorfismo en E cuya matriz respecto de B es:
M =
 2 −2 12 −3 2
−1 2 0
 .
Estudiar si f es automorfismo y determinar en su caso f−1. Resolver la
ecuación f(ϕ) = φ, donde φ es la función definida en el apartado anterior.
3. Calcular (M − I)(M + 3I). Expresar M2 y M−1 en función de M y de I.
Probar que ∀n ∈ Z, ∃un, vn ∈ R tales que Mn = unI + vnM y que un + vn
es constante.
4. Expresar un, vn y M
n en función de n para n ≥ 0.
(Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. Industriales , UPM).
Solución. 1. Es sencillo comprobar que las funciones φ1, φ2, φ3 son efectiva-
mente continuas en R. En cualquier caso y de la redacción de este apartado
parece darse por supuesto que lo son. Veamos que forman un sistema libre.
Consideremos una combinación lineal de estas funciones igualada a la fun-
ción cero, es decir λ1φ1 + λ2φ2 + λ3φ3 = 0. Dando a x los valores 0, 1, e
obtenemos: 
λ1 = 0
λ1 + λ2 = 0
λ1 + eλ2 + eλ3 = 0.
	 Aplicaciones lineales
	 Endomorfismo en un subespacio de C(R).