problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (391)

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Caṕıtulo 10. Aplicaciones lineales
10.29. Endomorfismo en C sobre R
Sea C el espacio vectorial de los números complejos respecto del cuerpo R
de los números reales. Se considera la aplicación f : C → C definida para
todo z ∈ C por f(z) = uz, en donde u = 1 + i siendo i la unidad imaginaria.
1. Demostrar que f es una aplicación lineal.
2. Determinar la matriz asociada a f respecto de la base canónica {1, i}.
3. Determinar el núcleo y la imagen de f.
4. Determinar según el valor de n entero y positivo, la matriz de fn respecto
de la base canónica.
5. Determinar la dimensión del espacio vectorial sobre R formado por todas
las aplicaciones lineales que son combinación lineal de las fn, es decir del
espacio vectorial F = {
∑
n∈N anf
n : an ∈ R}.
(Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. Industriales, UPM).
Solución. 1. Para cualquier par de escalares λ, µ ∈ R y para cada par de
vectores z, w ∈ C se verifica:
f(λz + µw) = u(λz + µw)
= λuz + µuw
= λf(z) + µf(w).
Es decir, f es lineal.
2. Hallando los transformados por f de la base canónica obtenemos la matriz
A pedida: {
f(1) = (1 + i)1 = 1 + i
f(i) = (1 + i)i = −1 + i ⇒ A =
[
1 −1
1 1
]
.
3. Denotemos por (x1, x2)
t ∈ R2 a las coordenadas de un vector z ∈ C y por
(y1, y2)
t ∈ R2 a las coordenadas de su transformado f(z). Entonces[
y1
y2
]
=
[
1 −1
1 1
] [
x1
x2
]
⇒ ker f ≡
{
x1 − x2 = 0
x1 + x2 = 0
⇒ x1 = x2 = 0.
Es decir, ker f = {0}. Usando el teorema de las dimensiones para aplica-
ciones lineales, tenemos dimC = dim ker f + dim Imf o equivalentemente
dim Im f = 2 lo cual implica Imf = C.
4. La matriz de fn respecto de la base canónica es An. Las primeras potencias
son:
A1 = A, A2 =
[
0 −2
2 0
]
, A3 =
[
−2 −2
2 −2
]
, A4 =
[
−4 0
0 −4
]
= −4I.