problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (398)

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11.3 Polinomio caracteŕıstico
m(λi), en donde m(λi) representa la multiplicidad de λ como ráız del poli-
nomio caracteŕıstico de f .
6. Sin efectuar previamente el producto, calcular el polinomio caracteŕıstico
de la matriz AB, siendo
A =

1 2
2 −2
−1 3
3 0
0 4
 , B =
[
2 1 −3 0 1
1 0 2 1 −2
]
.
7. Demostrar que una matriz cuadrada A y su traspuesta At tienen el mismo
polinomio caracteŕıstico. ¿Tienen los mismos vectores propios?
8. Hallar el polinomio caracteŕıstico de la matriz
A =

a1 a2 . . . an
a1 a2 . . . an
...
...
a1 a2 . . . an

siendo a1, a2, . . . , an escalares.
9. Una matriz A = [aij ] cuadrada real de orden n se dice que es matriz de
Markov si y sólo si todos sus elementos aij son mayores o iguales que 0 y la
suma de las componentes de cada columna de A es 1. Demostrar que λ = 1
es valor propio de toda matriz de Markov.
Solución. 1. (a) λ ∈ K es valor propio de f si y sólo si existe un x ∈ E no
nulo tal que f(x) = λx. Esto equivale a decir que existe un x ∈ E no nulo
tal que (f − λI)x = 0, que a su vez equivale a decir que ker(f − λI) 6= {0}.
Dado que la matriz de f−λI en la base B es A−λI, su rango no es máximo,
que equivale a decir que det(A− λI) = 0.
(b) x ∈ Vλ si y sólo si (f −λI)x = 0. Como la matriz de f −λI en la base B
es A − λI, la condición (f − λI)x = 0 equivale a (A − λI)X = 0 en donde
X es el vector de coordenadas de x en la base B.
2. Si A y B son matrices semejantes, existe P ∈ Kn×n invertible tal que
B = P−1AP . Entonces, usando conocidas propiedades de los determinantes:
χB(λ) = |B − λI| = |P−1AP − λP−1IP | = |P−1(A− λI)P |