problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (417)

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Caṕıtulo 11. Valores y vectores propios
4. Polinomio caracteŕıstico de A:
χ(λ) = det(A− λI) = λ2 − tr(A)λ+ detA = λ2 − 2λ+ 1 = (λ− 1)2.
El único valor propio de la matriz es por tanto λ = 1 (doble). Fácilmente
se comprueba que A no es diagonalizable. Usaremos el teorema de Cayley-
Hamilton. Efectuando la división eucĺıdea de λn entre χ(λ) obtenemos:
λn = q(λ)(λ− 1)2 + αλ+ β. (1)
Sustituyendo λ por A en (1) y usando el teorema de Cayley-Hamilton
An = q(A)(λ− I)2 + αA+ βI = q(A) · 0 + αA+ βI = αA+ β. (2)
Sustituyendo el valor propio λ = 1 en (1) obtenemos 1 = α+β. Derivando la
igualdad (1): nλn−1 = q′(λ)(λ−1)2 +2(λ−1)q(λ)+α. Sustituyendo en esta
ultima expresión de nuevo λ = 1 obtenemos n = α, con lo cual β = 1 − n.
Como consecuencia de (2):
An = nA+ (1− n)I = n
[
−14 25
−9 16
]
+ (1− n)
[
1 0
0 1
]
=
[
−15n+ 1 25n
−9n 15n+ 1
]
.
Por tanto
ĺım
n→+∞
1
n
An = ĺım
n→+∞
1
n
[
−15n+ 1 25n
−9n 15n+ 1
]
=
[
−15 25
−9 15
]
.
11.8. Diagonalización según parámetros
1. Determinar los valores de α ∈ R para los cuales es diagonalizable en R la
matriz
A =
2α+ 4 1− α −2α− α20 4− α 0
0 0 4− α2
 .
2. Determinar los valores de α y β reales para los cuales es diagonalizable
en R la matriz
A =
5 0 00 −1 β
3 0 α
 ∈ R3×3.
3. Determinar los valores de a, b, c ∈ R para los cuales es diagonalizable en
R la matriz
A =
1 a 10 1 b
0 0 c
 .
	 Valores y vectores propios
	Diagonalización según parámetros