problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (421)

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Caṕıtulo 11. Valores y vectores propios
La matriz A no es diagonalizable.
Tercer caso: m+ 8 = 1. Equivale a m = −7 y los valores propios son λ = 1
(doble) y λ = −15 (simple). La dimensión de V−15 es 1 por ser λ = −15
simple.
dimV1 = 3− rg (A− I) = 3− rg
 0 −2 −2−2 −8 8
2 8 −8
 = 3− 2 = 1.
La matriz A no es diagonalizable.
Cuarto caso: los valores propios son distintos dos a dos. Equivale a m 6= 9
y m 6= −7. En éste caso al ser los valore propios simples, la matriz es
diagonalizable. Podemos concluir que:
A no es diagonalizable⇔ (m = 9) ∨ (m = −7).
11.9. Suma y producto de valores propios
Se considera la matriz real
A =
1 5 65 0 3
6 3 4
 .
Hallar la suma y el producto de sus valores propios sabiendo que es diago-
nalizable.
Solución. Por hipótesis, existe P ∈ R3×3 invertible cumpliendo:
P−1AP = D, con D =
λ1 0 00 λ2 0
0 0 λ3
 ,
siendo λ1, λ2, λ3 los valores propios de A. Como A y D son semejantes tienen,
según sabemos, la misma traza y el mismo determinante. Por tanto:
λ1 + λ2 + λ3 = traza D = traza A = 5, λ1λ2λ3 = detD = detA = 71.
11.10. Valores propios del endomorfismo inverso
Sea λ un valor propio de un endomorfismo f : E → E invertible.
(a) Demostrar que λ 6= 0.
(b) Demostrar que 1/λ es valor propio de f−1.
	 Valores y vectores propios
	Suma y producto de valores propios
	 Valores propios del endomorfismo inverso