problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (436)

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11.19 Endomorfismo con modelo matemático
Xn = A
nX0 =
1
3n
MnX0 =
1
3n
PDnP−1X0.
Teniendo en cuenta que P y P−1 son constantes (no dependen de n):
ĺım
n→∞
Xn = P
(
ĺım
n→∞
1
3n
Dn
)
P−1X0
= P
(
ĺım
n→∞
diag ((2/3)n, 1, (−1/3)n
)
P−1X0
= P diag (0, 1, 0) P−1X0.
Para el estado inicial X0 = (60, 200, 300) :
ĺım
n→∞
Xn =
 0 1 −3−1 2 2
1 1 1
0 0 00 1 0
0 0 0
 1
12
 0 −4 83 3 3
−3 1 1
 60200
300
 =
140280
140
 .
Es decir, cuando el tiempo aumenta la tendencia de las poblaciones de A,B
y C son respectivamente 140, 280 y 140.
11.19. Endomorfismo con modelo matemático
Sea f el endomorfismo en R2 cuya matriz respecto de la base canónica es
A =
[
1/4 1/2
3/4 1/2
]
,
y sean C1 = {x ∈ R2 : x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0}, Rk = {x ∈ R2 : x1 + x2 = k}
con k ∈ R. Se pide:
1. Comprobar que C1 es f -invariante. Idem para cada Rk.
2. Comprobar que R0 es un subespacio propio de f . Determinar los valores
propios y los subespacios propio de f .
3. Determinar An para cada n natural y ĺımn→∞A
n.
4. La restricción de f a C1 ∩R1 sirve de modelo para el siguiente sistema:
En una autopista de dos carriles, la probabilidad de que un coche esté en el
carril i en el instante n habiendo estado en el carril j en el instante anterior
n−1 es aij . Si xin es la probabilidad de que un coche se encuentre en el carril
i en el instante n y sn = (x1n, x2n)
t representa el estado de la autopista en
el instante n, se cumple para todo n ∈ N que sn+1 = f(sn).
Determinar:
(a) Si existen estados estacionarios (es decir si existen se tales que ∀n ∈
N sn = se) y calcularlos en su caso.
(b) sn en función de n y s0.
(c) Si existe ĺımn→∞ sn para cada s0, y calcularlo en su caso.
(d) El carril que tenderá a estar más ocupado al crecer n.
	 Valores y vectores propios
	 Endomorfismo con modelo matemático