problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (439)

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Caṕıtulo 11. Valores y vectores propios
f(x) − f(x) = 0 es decir, (x− f(x)) ∈ ker f , con lo cual E = ker f + Imf .
Concluimos pues que E = ker f ⊕ Imf .
2. f no es inyectiva equivale a decir que existe 0 6= v ∈ E tal que f(v) =
0 = 0v . Esto implica que λ1 = 0 es valor propio del endomorfismo f . El
subespacio propio asociado a λ1 = 0 es V0 = {x ∈ E : f(x) = 0} que es
precisamente la definición de ker f . Es decir, V0 = ker f .
La condición f 6= 0 equivale a decir que Imf 6= {0}. Existe por tanto 0 6=
w ∈ Imf tal que w es de la forma w = f(x). Como f es nilpotente
f(w) = f [f(x)] = f2(x) = f(x) = w = 1w.
Es decir, λ2 = 1 es valor propio del endomorfismo f . Entonces el subespacio
propio asociado es V1 = {x ∈ E : f(x) = x} . Por lo ya visto, Imf ⊂ V1 y
por otra parte si x ∈ V1 se verifica x = f(x) es decir x ∈ Imf . Se concluye
que Imf = V1.
3. Caso 1. Supongamos que f no es inyectiva y f 6= 0 entonces dim(ker f) =
r > 0 y dim(Imf) = n − r > 0. Sea B1 = {e1, . . . , er} base de ker f y
B2 = {er+1, . . . , en} base de Imf . Como E = ker f ⊕ Imf , B = B1 ∪ B2 es
base de E. Además se verifica
f(e1) = 0e1, . . . , f(er) = 0er, f(er+1) = 1er+1, . . . , f(en) = 1en.
Transponiendo coeficientes obtenemos la matriz de f con respecto a la base
B: D = diag (0, . . . , 0, 1 . . . , 1.) es decir f es diagonalizable.
Caso 2. Si f es inyectiva, por el teorema de las dimensiones para aplicaciones
lineales se concluye que también es sobreyectiva, es decir f es un isomorfis-
mo. De la igualdad f2 = f se deduce componiendo con f−1 que f = IE y la
matriz de f respecto de cualquier base de E es I = diag (1, 1, . . . , 1): f es
diagonalizable.
Caso 3. Si f = 0 la matriz de f respecto de cualquier base de E es la matriz
nula 0 = diag (0, 0, . . . , 0): f es diagonalizable.
11.21. Ĺımite de sucesión de puntos diagonalizan-
do en C
Se consideran tres puntos p1, p2, p3 sobre la recta real y se construye una
sucesión del siguiente modo: p4 es el punto medio del segmento p1p2, p5 es
el punto medio de p2p3, p6 es el punto medio de p3p4 y aśı sucesivamente.
	 Valores y vectores propios
	 Límite de sucesión de puntos diagonalizando en C