problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (470)

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12.10 Formas de Jordan de rango 1
Usando la definición (∗) :
eJ = ĺım
m→∞
(
I +
1
m
J
)m
= eλI + eλ
[
0 1
0 0
]
= eλ
[
1 1
0 1
]
.
Es decir, existe eJ . Si P es una matriz cumpliendo A = PJP−1 entonces,
razonando de manera análoga a la del apartado anterior deducimos que eA =
PeJP−1. Apliquemos ahora esta demostración al cálculo de la exponencial
de la matriz dada. Valores propios:∣∣∣∣3− λ 1−1 1− λ
∣∣∣∣ = λ2 − 4λ+ 4 = (λ− 2)2 = 0⇔ λ = 2 (doble).
La dimensión del subespacio propio asociado al valor propio 2 es:
dimV2 = rg(A− 2I) = 2− rg
[
1 1
−1 −1
]
= 2− 1 = 1.
En consecuencia la forma de Jordan de A es J =
[
2 1
0 2
]
. Fácilmente en-
contramos que una matriz satisfaciendo A = PJP−1 es P =
[
1 1
−1 0
]
.
Entonces:
eA = PeJP−1 =
[
1 1
−1 0
]
e2
[
1 1
0 1
] [
1 1
−1 0
]−1
= e2
[
2 1
−1 0
]
.
12.10. Formas de Jordan de rango 1
Se trata de estudiar las posibles formas canónicas de Jordan (o en su caso,
forma diagonal) de las matrices cuadradas de rango 1.
1. Estudiamos en primer lugar un caso particular para matrices 3× 3. Dada
la matriz
A =
1 a −11 a −1
1 a −1
 ,
determinar, según los valores del parámetro real a su forma canónica de
Jordan A∗ (o en particular su forma diagonal) y una matriz P no singular
tal que A = PA∗P−1
	 Formas canónicas de Jordan
	 Formas de Jordan de rango 1