problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (484)

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13.3 Matriz de una forma bilineal
(iii) Sean α ∈ K y f ∈ B(E,F ). Entonces, para todo λ, µ ∈ K, para todo
x, y ∈ E, para todo z ∈ F y usando que f es forma bilineal:
(αf)(λx+ µy, z) = α (f(λx+ µy, z)) = α (λf(x, z) + µf(y, z))
= λ (αf(x, z)) + µ (αf(y, z)) = λ(αf)(x, z) + µ(αf)(y, z).
De manera análoga se demuestra la segunda condición de forma bilineal. Por
tanto, αf ∈ B(E,F ).
Hemos demostrado que B(E,F ) es subespacio vectorial de F(X,K), en con-
secuencia es espacio vectorial.
13.3. Matriz de una forma bilineal
1. Sean E y F espacios vectoriales sobre el cuerpo R y
BE = {u1, u2, u3}, BF = {v1, v2}
bases de E y F respectivamente. Sea f : E ×F → R una forma bilineal que
satisface:
f(u1, v1) = 2 f(u2, v1) = −6 f(u3, 2v1) = 4
f(u1, v2) = −3 f(4u2, v2) = 0 f(2u3, v2) = 6.
Se pide
(a) Hallar la matriz A de f en las bases BE y BF
(b) Hallar la ecuación matricial de f en las mismas bases.
(c) Hallar f(x, y), siendo x = u1 + 2u3, y = 2v1.
(d) Hallar la expresión desarrollada de f(x, y).
2. Se considera la forma bilineal:
f : R2[x]× R2[x]→ R, f(p, q) = p(0) · q(0).
Hallar la matriz de f respecto de la base
B = {2 + x− x2, 1 + 2x, 3}.
3. Se considera la forma bilineal
f : R2×2 × R2×2 → R, f(X,Y ) = tr
(
XTY
)
.
Hallar su matriz respecto de la base canónica.
4. Sean E y F espacios vectoriales sobre el cuerpo K y
BE = {u1, . . . , um}, BF = {v1, . . . , vn}
	 Formas bilineales y cuadráticas
	Matriz de una forma bilineal