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13.8 Concepto de forma cuadrática
Es decir, una matriz diagonal D que representa a la forma bilineal y la
traspuesta de la matriz P del cambio de la base canónica B a la de vectores
conjugados B′ son:
D =
[
2 0
0 −2
]
, P T =
[
1 1
−1 1
]
.
La correspondiente base de vectores conjugados es por tanto
B′ = {(1, 1), (−1, 1)}.
13.8. Concepto de forma cuadrática
1. Determinar las formas cuadráticas asociadas a las formas bilineales:
f1(x, y) =
(
x1, x2
)( 2 4
−1 7
)(
y1
y2
)
.
f2(x, y) =
(
x1, x2
)(2 −3
6 7
)(
y1
y2
)
.
f3(x, y) =
(
x1, x2
)( 2 3/2
3/2 7
)(
y1
y2
)
.
2. Se considera la forma cuadrática q : R3 → R :
q(x1, x2, x3) = x
2
1 + 7x
2
2 − x23 + 8x1x2 + 5x1x3 − 4x2x3.
Expresarla mediante una matriz simétrica y mediante un par de ellas que
no lo sean.
3. ea q la forma cuadrática asociada a una forma bilineal f en un espacio
vectorial E.Demostrar que para toda terna de vectores x, y, z ∈ E se verifica:
q(x+ y + z) = q(x+ y) + q(x+ z) + q(y + z)− q(x)− q(y)− q(z).
4. Sea q : E → K una forma cuadrática. Demostrar la identidad
q(x+ y) + q(x− y) = 2 (q(x) + q(y)) ∀x, y ∈ E.
5. Sea q : E → K una forma cuadrática. Demostrar que:
(a) q(0) = 0.
(b) q(λx) = λ2q(x) ∀λ ∈ K, ∀x ∈ E.
	 Formas bilineales y cuadráticas
	Concepto de forma cuadrática