problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (506)

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13.15 Mı́nimo de una función cuadrática
grado dos. Concluimos que q es forma cuadrática.
Calculando los coeficientes aij por medio de las integrales inmediatas que
aparecen, podemos diagonalizar la forma cuadrática por alguno de los méto-
dos conocidos y ya tendŕıamos su rango y su signatura. Ahora bien, en este
caso y dado que la función integrando es ≥ 0 deducimos que q(x1, x2, x3) ≥ 0
para todo vector (x1, x2, x3) de R3. Si demostramos además que
q(x1, x2, x3) = 0⇔ (x1, x2, x3) = (0, 0, 0) (1)
la forma cuadrática será definida positiva y cualquier matriz diagonal que la
representa ha de ser de la forma D = diag (+,+,+). Veamos que se cumple
(1). Por un conocido resultado de Análisis, si f es continua y positiva en
un intervalo [a, b] se verifica
∫ b
a f(t)dt = 0 ⇔ f = 0 en [a, b]. La función
f(t) = (x1 cos t + x2 sin t + x3)
2 es continua y además ≥ 0 en [0, π/2] por
tanto:
q(x1, x2, x3) = 0⇔ (x1 cos t+ x2 sin t+ x3)2 = 0
⇔ x1 cos t+ x2 sin t+ x3 = 0 , ∀t ∈ R.
Dando a t los valores 0, π/4, π/2 obtenemos el sistema
x1 + x3 = 0
(
√
2/2)x1 + (
√
2/2)x2 + x3 = 0
x2 + x3 = 0.
Resolviendo obtenemos (x1, x2, x3) = (0, 0, 0). La forma cuadrática dada es
definida positiva, en consecuencia su rango es 3 y su signatura, s = (3, 0, 0).
13.15. Mı́nimo de una función cuadrática
1) La condición de mı́nimo para la función polinómica de segundo grado
p(x) =
1
2
ax2 − bx
es ax = b y a > 0. Demostrar el siguiente resultado análogo para matrices:
Si A es una matriz simétrica definida positiva (es decir, XtAX > 0 cuando
X 6= 0) y B es un vector columna, entonces p(X) = 1
2
XtAX −XtB tiene
mı́nimo para X tal que AX = B.
Sugerencia: Si X verifica AX = B e Y es un vector columna, estudiar el
signo de p(Y )− p(X) verificando que p(Y )− p(X) = 1
2
[(Y −X)tA(Y −X)].
	 Formas bilineales y cuadráticas
	 Mínimo de una función cuadrática