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13.16 Funciones convexas y formas cuadráticas
13.16. Funciones convexas y formas cuadráticas
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita. Se dice que una función real
f : V → R es convexa cuando f(αx + βy) ≤ αf(x) + βf(y) ∀x, y ∈ V y
∀α, β ∈ R con α, β ≥ 0, α+ β = 1.
(a) Desde luego las formas lineales o funcionales f : V → R son funciones
convexas como fácilmente se puede comprobar, pero existen funciones con-
vexas que no son lineales. Demostrar que la función f(x) = x2 de R en R es
convexa y no lineal.
(b) Sea f : V → R una forma cuadrática. Demostrar que si f es positiva (es
decir f(x) ≥ 0 para todo x de V ) entonces f es convexa.
(c) Enunciar la propiedad rećıproca de la anterior y estudiar su validez (en
caso afirmativo dar una demostración y en caso contrario construir un con-
traejemplo). En todo caso dar una caracterización de las formas cuadráticas
que son funciones convexas.
(Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. de Montes, UPM).
Solución. (a) Elijamos el escalar λ = 2 y el vector x = 1. Entonces f(λx) =
f(2) = 4 y λf(1) = 2 · 1 = 2, es decir f(λx) 6= λf(x) para algún λ y x y por
tanto la función f(x) = x2 no es lineal. Veamos que es convexa. Claramente
una función f es convexa śı y sólo si:
f(αx+ (1− α)y) ≤ αf(x) + (1− α)f(y) ∀x, y ∈ V, ∀α ∈ [0, 1].
Para f(x) = x2 tenemos:
(αx+ (1− α)y)2 ≤ αx2 + (1− α)y2
⇔ α2x2 + 2α(1− α)xy + (1− α)2y2 − αx2 − (1− α)y2 ≤ 0
⇔ (α2 − α)x2 + (α2 − α)y2 + 2(α2 − α)xy ≤ 0
⇔ (α2 − α)(x+ y)2 ≤ 0.
La última desigualdad se verifica pues α2 − α ≤ 0 para todo α en [0, 1].
Hemos demostrado por tanto que la función f(x) = x2 es convexa pero no
lineal.
(b) Por hipótesis dimV = n finita y f(x) ≥ 0 para todo x de V . Por un
conocido teorema, existe una base B = {u1, . . . , un} de V respecto de la
cual la expresión de f es:
f(x) = x21 + . . .+ x
2
r , (r ≤ n , x = x1u1 + . . .+ xnun).