problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (510)

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13.17 Núcleo de una forma cuadrática
3. Sea A una matriz con coeficientes reales m× n, y de rango r. La matriz
At · A es simétrica y puede ser considerada como la matriz de una forma
cuadrática Q : Rs → R, Q(x) = Xt(AtA)X. Demostrar que Q es positiva y
expresar kerQ en términos del conjunto de soluciones del sistema de ecua-
ciones AX = 0. Indicación: Nótese que Q(x) = (AX)t(AX).
4. Clasificar la forma cuadrática del apartado anterior. Es decir, determinar
los ı́ndices de positividad, de negatividad, y de nulidad, en términos de m, n
y r.
5. Como aplicación del apartado anterior, enunciar y demostrar una condi-
ción necesaria y suficiente que ha de cumplir la matriz A para que At ·A sea
una matriz invertible.
(Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. de Montes, UPM).
Solución. 1. Tenemos:
(x1, x2) ∈ kerQ⇔ x21 − x22 = 0⇔ (x1 + x2)(x1 − x2) = 0
⇔ (x1 + x2 = 0) ∨ (x1 − x2 = 0).
Los vectores de kerQ son por tanto los vectores de la forma
−−→
OM o bien
−−→
ON
siendo O el origen de coordenadas y M, N puntos de las rectas x1− x2 = 0
y x1 + x2 = 0 respectivamente.
Elijamos los vectores (1, 1), (1,−1). Claramente pertenecen a kerQ, sin
embargo su suma (2, 0) no pertenece, en consecuencia kerQ no es subespacio
de R2.
x2
x1
MN
x1 − x2 = 0x1 + x2 = 0
2. Aún no siendo obligatorio, demostremos la indicación. Si Q : E → R es
una forma cuadrática, entonces existe una forma bilineal f : E ×E → R tal
que Q(x) = f(x, x) para todo x ∈ E. Entonces: