problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (513)

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Caṕıtulo 13. Formas bilineales y cuadráticas
tendŕıamos A2 = 0). Por tanto, el polinomio mı́nimo de A ha de ser de la
forma µ(λ) = λ(λ−α) con α 6= 0 real. Esto implica que A es diagonalizable
en R y semejante a la matriz diag (α, 0) y a la matriz diag (0, α) con lo cual
hemos demostrado el aserto de este apartado.
4. Si A2 = 0 entonces 0 = Φ(A2) = (Φ(A))2 = 0 lo cual implica que
Φ(A) = 0. Sea ahora A2 6= 0. Si R ∈ E es invertible, entonces
1 = Φ(I) = Φ(RR−1) = Φ(R)Φ(R−1)⇒ Φ(R−1) = (Φ(R))−1.
Usando el apartado anterior
Φ(A) = Φ(P−1(αB1)P ) = Φ(P
−1)(α2Φ(B1))Φ(P ) = α
2Φ(B1),
Φ(A) = Φ(Q−1(αB4)Q) = Φ(Q
−1)(α2Φ(B4))Φ(Q) = α
2Φ(B4).
Multiplicando y usando el primer apartado, (Φ(A))2 = α4Φ(B1)Φ(B4) = 0.
Como α 6= 0, deducimos que Φ(A) = 0.
5. Como I + J e I − J son singulares:
0 = Φ(I+J) = φ(I+J, I+J) = Φ(I)+Φ(J)+2φ(I, J) = 1+Φ(J)+2φ(I, J),
0 = Φ(I−J) = φ(I−J, I−J) = Φ(I)+Φ(J)−2φ(I, J) = 1+Φ(J)−2φ(I, J).
Resolviendo el correspondiente sistema, obtenemos inmediatamente que Φ(J) =
−1 y Φ(I, J) = 0.
6. La matriz pedida es la matriz simétrica H = [φ(Bi, Bj)] i, j = 1, 2, 3, 4.
Usando la conocida fórmula de la forma polar y que Φ(Bi) = 0 (i =
1, 2, 3, 4) :
φ(Bi, Bj) =
1
2
(Φ(Bi +Bj)− Φ(Bi)− Φ(Bj)) =
1
2
Φ(Bi +Bj).
Teniendo en cuenta que Φ(I) = 1, Φ(J) = −1 y Φ(A) = 0 si A es singular,
obtenemos
H =

0 0 0 1/2
0 0 −1/2 0
0 −1/2 0 0
1/2 0 0 0
 .
	 Formas bilineales y cuadráticas
	 Semejanza, congruencia y equivalencia de dos matrices