problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (525)

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Caṕıtulo 14. Producto escalar
3. La expresión dada es una forma bilineal. Además es simétrica pues la
matriz que la representa lo es. Para que la forma cuadrática asociada sea
definida positiva, todos los menores prricipales
A1 = |1| = 1, A2 =
∣∣∣∣ 1 −3−3 10
∣∣∣∣ = 1, A3 = |A| = a− 10,
han de ser positivos. Esto ocurre si, y sólo si a > 10.
4. (i) Para todo X,Y elementos de E, y usando conocidas propiedades de
la traza:
〈X,Y 〉 = traza
(
XTY
)
= traza
((
XTY
)T)
= traza
(
Y TX
)
= 〈Y,X〉 .
(ii) Para todo α, β números reales, para todo X,Y, Z elementos de E, y
usando conocidas propiedades de la traza:
〈αX + βY, Z〉 = traza
(
(αX + βY )T Z
)
= traza
((
αXT + βY T
)
Z
)
= traza
(
αXTZ + βY TZ
)
= α traza
(
XTZ
)
+ β traza
(
Y TZ
)
= α 〈X,Y 〉+ β 〈Y, Z〉 .
(iii) Si X = [xij ] es una matriz no nula de E,
〈X,X〉 = traza
(
XTX
)
= traza

x11 x21 . . . xn1
x12 x22 . . . xn2
...
...
x1n x2n . . . xnn


x11 x12 . . . x1n
x21 x22 . . . x2n
...
...
xn1 xn2 . . . xnn

= traza

x211 + x
2
21 + · · ·+ x2n1 . . .
. . .
...
...
. . . x21n + x
2
2n + · · ·+ x2nn

=
(
x211 + x
2
21 + · · ·+ x2n1
)
+ · · ·+
(
x21n + x
2
2n + · · ·+ x2nn
)
.
La suma anterior es la suma de los cuadrados de todos los elementos de
la matriz X. Como X 6= 0, algún xij es no nulo y por tanto 〈X,X〉 > 0.
Concluimos que la aplicación dada es un producto escalar.