problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (530)

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14.5 Bases ortonormales, método de Schmidt
Solución. 1. El producto escalar de los vectores dados es
〈p(x), q(x)〉 =
∫ 1
−1
(
(1 + 4x+ x2)(1− x) + 0
)
dx = . . . = 0,
luego p(x) y q(x) son ortogonales.
2. 1) Para todo x ∈ E, 〈0, x〉 = 〈x− x, x〉 = 〈x, x〉 − 〈x, x〉 = 0.
2) Si x ∈ E es ortogonal a todos los vectores de E, en particular es ortogonal
a śı mismo por tanto 〈x, x〉 = 0 lo cual implica x = 0.
3) Sea B una base del subespacio F y supongamos que x es ortogonal a B.
Sea y ∈ E. Como B es base de E existe un subconjunto {v1, . . . , vm} de B
tal que
y = λ1v1 + · · ·+ λmvm (λi ∈ R).
Entonces, y teniendo en cuenta que x es ortogonal a B :
〈x, y〉 = 〈x, λ1v1 + · · ·+ λmvm〉 = λ1 〈x, v1〉+ · · ·+ λm 〈x, vm〉
= λ1 · 0 + · · ·+ λm · 0 = 0⇒ x es ortogonal a y.
Es decir, x es ortogonal a F.
Rećıprocamente, si x es ortogonal a F, es trivialmente ortogonal a B ⊂ F.
4) Sea S1 = {u1, . . . , up} un subconjuto finito de S. Veamos que es lineal-
mente independiente. En efecto, sea α1u1 + · · · + αpup = 0 con los αj ∈ R.
Multiplicando escalarmente la igualdad anterior por ui, teniendo en cuenta
que ui es ortogonal a los demás vectores de S1 y que ‖ui‖ 6= 0 :
〈ui, α1u1 + · · ·+ αpup〉 = 〈ui, 0〉 ⇒ α1 〈ui, u1〉+ · · ·+ αp 〈ui, up〉 = 0
⇒ αi 〈ui, ui〉 = 0⇒ αi ‖ui‖ = 0⇒ αi = 0.
El razonamiento es válido para todo i = 1, . . . , p luego S1 es linealmente
independiente, lo cual implica que S también lo es.
14.5. Bases ortonormales, método de Schmidt
1. Demostrar que la base canónica de Rn es ortonormal con el producto
escalar usual.
2. Ortonormalizar la base B = {1, x, x2} de R2[x] por el método de Schmidt,
con el producto escalar
〈p, q〉 = 1
2
∫ 1
−1
p(x)q(x) dx.
	 Producto escalar
	Bases ortonormales, método de Schmidt