problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (545)

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Caṕıtulo 14. Producto escalar
Imponiendo que la matriz sea ortogonal,
α2 + β2 + 1/4 = 1
α2 + γ2 + 1/4 = 1
β2 + γ2 + 1/4 = 1,

βγ = 0
αγ = 0
αβ = 0.
No existen α, β, γ cumpliendo las relaciones anteriores pues por ejemplo,
tomando α = β = 0 (dos de las variables han de ser nulas para que se
verifiquen las tres últimas igualdades), tendŕıamos 1/4 = 1 (absurdo).
14.10. Operador traspuesto
1. En el espacio eucĺıdeo R2 con el producto escalar 〈x, y〉 = 2x1y1 + 3x2y2
(siendo x = (x1, x2)
t, y = (y1, y2)
t), se considera el operador
T (x1, x2) = (x1 − 2x2, 4x1 + 5x2).
Determinar su operador traspuesto.
2. Se considera el espacio eucĺıdeo (R2[x], 〈 , 〉) siendo 〈p, q〉 = 12
∫ 1
−1 p(x)q(x) dx.
(i) Comprobar que B = {p1 = 1, p2 =
√
3x, p3 = (3
√
5/2)(x2 − 1/3)} es
base ortonormal.
(ii) Determinar en la base B la matriz del operador traspuesto del operador
T en R2[x] definido mediante T (p1) = 2p1−p3, T (p2) = 2p2+5p3, T (p3) = p3.
3. Sea S y T dos operadores en un espacio eucĺıdeo de dimensión finita E,
y λ ∈ R. Demostrar que
(S + T )t = St + T t, (λT )t = λT t, (S ◦ T )t = T t ◦ St.
4. Sea E un espacio eucĺıdeo de dimensión finita n, y E∗ su dual. Demostrar
que la aplicación F : E → E∗, F (a) = fa con fa(x) = 〈a, x〉 es un isomor-
fismo.
5. Sea E espacio eucĺıdeo de dimensión finita y T : E → E un operador (es
decir, un endomorfismo). Demostrar que existe un único operador T t : E →
E tal que:
〈v, T (w)〉 = 〈T t(v), w〉 ∀v, w ∈ E.
6. Sea T un operador en un espacio eucĺıdeo de dimensión finita y B una
base de E. Sea A la matriz de T en la base B y G la matriz de Gram en la
base B. Demostrar que la matriz de T t en la misma base B es G−1AtG.
	 Producto escalar
	 Operador traspuesto