problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (552)

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14.12 Operador simétrico, teorema espectral
14.12. Operador simétrico, teorema espectral
1. En el espacio eucĺıdeo
(
R3, 〈 , 〉
)
donde 〈 , 〉 representa el producto escalar
usual, se considera T ∈ End
(
R3
)
dado por:
T (x, y, z) = (x+ 4y + 8z, 4x+ 16y + 32z, 8x+ 32y + 64z).
Demostrar que T es simétrico.
2. En R2 con el producto escalar
〈(x1, x2), (y1, y2)〉 =
(
x1, x2
)(1 2
2 5
)(
y1
y2
)
,
analizar si es simétrico el operador T (x1, x2) = (2x1, x1 − x2).
3. En R2 se considera el operador T cuya matriz en una base ortonormal
B = {u1, u2} es A =
[
1 −2
−2 1
]
. Demostrar que T es simétrico, hallar una
base ortonormal formada por vectores propios y la matriz diagonal corres-
pondiente.
4. Sea la matriz simétrica A =
2 1 11 2 1
1 1 2

(i) Hallar los valores propios de A. Comprobar que son reales.
(ii) Hallar unas bases de los subespacios propios. Comprobar que A es dia-
gonalizable en R.
(iii) Comprobar que vectores propios de esas bases asociados a valores pro-
pios distintos son ortogonales con el producto escalar usual.
(iv) Hallar una base de R3 ortonormal y de vectores propios.
(v) Comprobar que la matriz P de cambio de base de la canónica a la del
apartado anterior es ortogonal.
(vi) Clasificar la forma cuadrática q : R3 → R dada por q(x) = xtAx.
5. Demostrar que todo operador simétrico en un espacio eucĺıdeo de dimen-
sión n tiene n valores propios reales, contando multiplicidades.
6. Demostrar que el subespacio ortogonal a un vector propio de un operador
simétrico T en un espacio eucĺıdeo E es invariante por este operador.
7. Demostrar es teorema espectral para operadores simétricos:
Sea T un operador simétrico en un espacio eucĺıdeo E. Entonces, existe al