problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (570)

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14.21 Matrices unitarias
=
n∑
j=1
xj
(
yk
n∑
k=1
〈ej , ek〉
)
=
n∑
j,k=1
xjyk 〈ej , ek〉
=
(
x1, x2, . . . , xn
)

〈e1, e1〉 〈e1, e2〉 . . . 〈e1, en〉
〈e2, e1〉 〈e2, e2〉 . . . 〈e2, en〉
...
...
〈en, e1〉 〈en, e2〉 . . . 〈en, en〉


y1
y2
...
yn
 .
Por tanto, 〈x, y〉 = XtGY .
2. Efectivamente, si G = [gij ] es una matriz de Gram de orden n, para todo
i = 1, . . . , n se verifica gij = 〈ei, ei〉 = 〈ei, ei〉, luego gii es real. Por otra
parte, para todo i 6= j,
gji = 〈ej , ei〉 = 〈ei, ei〉 = gij .
14.21. Matrices unitarias
1. Comprobar que U =
1√
3
[
1 −1 + i
1 + i 1
]
es matriz unitaria.
2. Identificar las matrices unitarias reales.
3. Demostrar que una matriz U ∈ Cn×n es unitaria si, y sólo si sus vectores
columnas forman un sistema ortonormal con el producto escalar complejo
usual.
Aplicación. Comprobar que M =
[
0 i
−i 0
]
es unitaria.
4. Demostrar que:
1) El producto de matrices unitarias y del mismo orden es unitaria.
2) La matriz identidad es unitaria.
3) La inversa de una matriz unitaria es unitaria.
Nota. Estas propiedades demuestran que el conjunto de las matrices uni-
tarias de orden n es subgrupo multiplicativo del grupo multiplicativo de la
matrices invertibles de Cn×n.
5. Demostrar el módulo del determinante de una matriz unitaria es igual a
1.
Solución. 1. Tenemos
U∗U =
1√
3
[
1 1− i
−1− i 1
]
1√
3
[
1 −1 + i
1 + i 1
]
	 Producto escalar
	 Matrices unitarias