problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (572)

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14.22 Descomposición en valores singulares
3) Si A ∈ Cn×n es unitaria, A−1 = A∗, por tanto(
A−1
)∗
A−1 = (A∗)∗A−1 = AA−1 = I ⇒ A−1 es unitaria.
5. Si U es unitaria, U∗U = I. Tomando determinantes, y teniendo en cuenta
que el determinante de la matriz conjugada es el conjugado del determinante,
(detU∗) · (detU) = 1⇒
(
detU
t
)
· (detU) = 1
⇒
(
detU
)
· (detU) = 1⇒ detU · detU = 1⇒ |detU |2 = 1.
Es decir, |detU | = 1.
14.22. Descomposición en valores singulares
1. Demostrar el teorema de descomposición en valores singulares:
Sea A ∈ Cm×n. Existen matrices unitarias Q1 ∈ Cm×m, Q2 ∈ Cn×n tales
que Q∗1AQ2 = S ∈ Rm×n siendo
(i) S =

σ1 0 . . . 0 0 . . . 0
0 σ2 . . . 0 0 . . . 0
...
...
0 0 . . . σm 0 . . . 0
 si m < n.
(ii) S =

σ1 0 . . . 0
0 σ2 . . . 0
...
...
0 0 . . . σn
0 0 . . . 0
...
...
0 0 . . . 0

si m > n.
(iii) S =

σ1 0 . . . 0
0 σ2 . . . 0
...
...
0 0 . . . σn
 si m = n,
con σ1, σ2, . . . , σp todos ≥ 0 y p = mı́n{m,n}. A los números σ1, σ2, . . . , σp
se les llama valores singulares de A.
2. (Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. Industriales, UPM).
Dada la matriz A =
√
2
6
 4 0−5 3
−2 −6
 calcular números σ1, σ2 y matrices U, V
que verifiquen:
	 Producto escalar
	 Descomposición en valores singulares