problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (591)

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Caṕıtulo 14. Producto escalar
(Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. de Montes, UPM).
Solución. (a) Como ‖u‖ = 1 el vector u es no nulo y en consecuencia li-
nealmente independiente. Por el teorema de la ampliación de la base, existen
vectores u2, . . . , un de E tales que B = {u, u2, . . . , un} es base de E. Apli-
cando el método de Gram-Schmidt a B obtenemos la base ortonormaal de
E: B′ = {u, e2, . . . , en}.
El vector de coordenadas de u en B′ es (1, 0, . . . , 0). Llamemos (x1, . . . , xn)
al vector de coordenadas de x en B′. Dado que B′ es ortonormal, el producto
escalar de dos vectores por medio de sus coordenadas en B′ se calcula como
en el caso usual. Por tanto:
Qa(x) = x
2
1 + a(x
2
1 + x
2
2 + . . .+ x
2
n) = (1 + a)x
2
1 + ax
2
2 + . . .+ ax
2
n.
En forma matricial
Qa(x) =
(
x1, x2, . . . , xn
)

1 + a 0 . . . 0
0 a . . . 0
...
...
0 0 . . . a


x1
x2
...
xn
 .
Si−1 < a < 0 la matriz diagonalD anterior es de la formaD = diag (+,−, . . . ,−)
y la signatura de Qa es en consecuencia s = (1, n− 1, 0).
(b) Para a ≥ 0 tenemos:{
a = 0⇒ D = diag (1, 0, . . . , 0)⇒ s = (1, 0, n− 1)
a > 0⇒ D = diag (+,+, . . . ,+)⇒ s = (n, 0, 0).
Para a ≤ −1:{
a = −1⇒ D = diag (0,−1, . . . ,−1)⇒ s = (0, n− 1, 1)
a < −1⇒ D = diag (−,−, . . . ,−)⇒ s = (0, n, 0).
14.30. Un endomorfismo antisimétrico
En R3 con el producto escalar usual 〈 , 〉 se considera el endomorfismo f
cuya matriz respecto de la base canónica es
A =
 0 −1 21 0 3
−2 −3 0
 .
	 Producto escalar
	 Un endomorfismo antisimétrico