problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (608)

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15.1 Cuerpo de los números complejos
((−x) + (−y)i) + (x+ yi) = ((−x) + x) + ((−y) + y) i = 0 + 0i,
por tanto, todo elemento de C tiene simétrico.
5. Conmutativa. Para todo x1 + y1i, x2 + y2i ∈ C con x1, y1, x2, y2 ∈ R y
usando la propiedad conmutativa en R,
(x1 + y1i) + (x2 + y2i) = (x1 + x2) + (y1 + y2)i
= (x2 + x1) + (y2 + y1)i = (x2 + y2i) + (x1 + y1i).
b) (C, ·) es semigrupo conmutativo y unitario. En efecto,
1. Interna. Para todo x1 + y1i, x2 + y2i ∈ C con x1, y1, x2, y2 ∈ R se verifica
(x1 + y1i)(x2 + y2i) = (x1x2 − y1y2︸ ︷︷ ︸
∈R
) + (y1x2 + x1y2︸ ︷︷ ︸
∈R
)i ∈ C.
2. Asociativa. Para todo x1 + y1i, x2 + y2i, x3 + y3i ∈ C con xj , yj ∈ R, y
usando conocidas propiedades de la suma y del producto en R,
[(x1 + y1i)(x2 + y2i)] (x3 + y3i) = [(x1x2 − y1y2) + (y1x2 + x1y2)i] (x3 + y3i)
= (x1x2x3−y1y2x3−y1x2y3−x1y2y3)+(x1x2y3−y1y2y3+y1x2x3+x1y2x3)i.
Por otra parte
(x1 + y1i) [(x2 + y2i)(x3 + y3i)] = (x1 + y1i) [(x2x3 − y2y3) + (y2x3 + x2y3)i]
= (x1x2x3−x1y2y3−y1y2x3−y1x2y3)+(y1x2x3−y1y2y3+x1y2x3+x1x2y3)i.
Se verifica la igualdad.
3. Conmutativa. Para todo x1 + y1i, x2 + y2i ∈ C con x1, y1, x2, y2 ∈ R,
(x1 + y1i)(x2 + y2i) = (x1x2 − y1y2) + (x1y2 + y1x2)i,
(x2 + y2i)(x1 + y1i) = (x2x1 − y2y1) + (y2x1 + x2y1)i.
Se verifica la igualdad.
4. Existencia de elemento unidad. Para todo x + yi ∈ C con x, y ∈ R se
verifica
(x+ yi)(1 + 0i) = (1x− 0y) + (1y + 0x)i = x+ yi,
por tanto 1 + 0i es elemento unidad.
c) Todo elemento no nulo de C tiene inverso. En efecto, si x+ yi ∈ C con x,
y ∈ R es no nulo, entonces x 6= 0 o y 6= 0 con lo cual x2 + y2 6= 0. Entonces,
(x+ iy)
(
x
x2 + y2
− y
x2 + y2
i
)
=
x2 + y2
x2 + y2
+
yx− xy
x2 + y2
i = 1 + 0i,
luego x+ iy tiene inverso.
Concluimos que (C,+, ·) es cuerpo.
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	Operaciones con números complejos