problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (609)

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Caṕıtulo 15. Álgebra de los números complejos
15.2. Operaciones con números complejos
1. Expresar en forma binómica de cada uno de los siguientes números com-
plejos:
a)
3− 2i
1 + 4i
. b) i23. c)
1
z
. d)
z − 1
z + 1
. e) (1− 2i)4. f)
√
3− 4i.
2. Resolver en C la ecuación z2 − (2 + i)z − 1 + 7i = 0.
3. Determinar todos los números complejos que son conjugados con su cubo.
4. a) Demostrar que si z ∈ C, entonces Re z > 0⇔ |z − 1| < |z + 1| .
b) Demostrar que si x + yi = (s + ti)n con n ∈ N, x, y, s, t ∈ R, entonces
x2 + y2 = (s2 + t2)n.
5. Demostrar que si r es ráız de un polinomio p(z) ∈ C[z] con coeficientes
reales, también r es ráız de p(z).
6. Sabiendo que el polinomio p(z) = 4z4−12z3 + 13z2−12z+ 9 tiene la ráız
compleja r = i, hallar todas sus ráıces.
7. Determinar el valor real del parámetro a para que la ecuación en z
|z|2 − (3− 4i)z − (3− 4i)z + a = 0
represente una circunferencia en el plano complejo de radio 3.
8. Sean z1 = 1, z2, . . . , zn las distintas ráıces enésimas de la unidad. De-
mostrar que (1− z2)(1− z3) . . . (1− zn) = n.
9. Sea G = {z ∈ C : |z| = 1}. Demostrar que (G, ·) es grupo.
Solución. 1. a)
3− 2i
1 + 4i
=
(3− 2i)(1− 4i)
(1 + 4i)(1− 4i)
=
3− 8 + (−2− 12)i
12 + 42
= − 5
17
−
14
17
i.
b) i23 = i20i3 =
(
i4
)5
(−i) = 15(−i) = −i.
c)
1
z
=
z
zz
=
z
|z|2
=
Re z
|z|2
− Im z
|z|2
i.
d)
z − 1
z + 1
=
z − 1
z + 1
· z + 1
z + 1
=
|z|2 − 1
|z|2 + 1 + 2Re z
+
2Im z
|z|2 + 1 + 2Re z
i.