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16.3 Fórmulas de Cardano-Vieta
16.3. Fórmulas de Cardano-Vieta
1. Demostrar las fórmulas de Cardano-Vieta: Sea p(x) = anx
n+an−1x
n−1 +
· · ·+a1x+a0 ∈ C[x] (an 6= 0) y sean r1, r2, . . . , rn las ráıces de p(x) en donde
cada una se escribe tantas veces como sea su multiplicidad. Designemos por
σ1, σ2, . . . , σn las llamadas funciones elementales de las ráıces. Se verifica
σ1 =
∑
i
ri = r1 + r2 + · · ·+ rn = −
an−1
an
,
σ2 =
∑
i<j
rirj = r1r2 + r1r3 + · · ·+ rn−1rn =
an−2
an
,
σ3 =
∑
i<j<k
rirjrk = r1r2r3 + r1r2r4 + · · ·+ rn−2rn−1rn = −
an−3
an
,
. . .
σn = r1r2 · · · rn =
(−1)nan−1
an
.
2. Comprobar las fórmulas de Cardano-Vieta para el polinomio
p(x) = x3 − 4x2 + x+ 6.
3. Resolver la ecuación 17x3 + 16x2 + 33x − 2 = 0 sabiendo que tiene una
ráız compleja de módulo
√
2.
4. Dada la ecuación x3− 7x+ k = 0, calcular k para que una solución sea el
doble de otra. Resolver dicha ecuación.
Solución. 1. Usando el teorema de descomposición de polinomios podemos
expresar
anx
n + an−1x
n−1 + · · ·+ a1x+ a0 = an(x− r1)(x− r2) . . . (x− rn).
Igualando los coeficientes de xn−p,
an−p = an
∑
i1<i2<...<ip
(−1)pri1ri2 . . . rip = (−1)panσp,
de donde resultan las fórmulas de Cardano-Vieta.
2. Como p(−1) = −1 − 4 − 1 + 6 = 0, 1 es ráız de p(x). Dividiendo p(x)
entre x+ 1, obtenemos
p(x) = (x+ 1)(x2 − 5x+ 6) = (x+ 1)(x− 2)(x− 3).