problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (635)

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Caṕıtulo 16. Polinomios en una variable
Las ráıces de p(x) son por tanto r1 = −1, r2 = 2 y r3 = 3. Los coeficiente
de p(x) son a3 = 1, a2 = −4, a1 = 1, a0 = 6. Entonces,
r1 + r2 + r3 = −1 + 2 + 3 = 4 = −
−4
1
= −a2
a3
,
r1r2 + r1r3 + r2r3 = (−1) · 2 + (−1) · 3 + 2 · 3 = 1 =
1
1
=
a1
a3
,
r1r2r3 = (−1) · 2 · 3 = −6 = −
6
1
= −a0
a3
.
3. Las tres soluciones de la ecuación son de la forma
x1 = a+ bi, x2 = a− bi, x3, con a, b ∈ R, a2 + b2 = 2.
Usando las fórmulas de Cardano-Vieta
x1 + x2 + x3 = 2a+ x3 = −
16
17
,
x1x2 + x1x3 + x2x3 = a
2 + b2 + (a+ bi)x3 + (a− bi)x3 =
33
17
,
x1x2x3 = (a
2 + b2)x3 =
2
17
.
Obtenemos pues el sistema 
2a+ x3 = −1617
2 + 2ax3 =
33
17
2x3 =
2
17 ,
que resuelto proporciona las solución x3 = 1/17, a = −1/2. Por otra parte
b =
√
2− a2 = ±
√
7/2. Las soluciones de la ecuación dada son por tanto
−1
2
±
√
7
2
i,
1
17
.
4. Las ráıces de la ecuación son de la forma x1, x2 = 2x1 y x3. Aplicando
las fórmulas de Cardano-Vieta,
3x1 + x3 = 0,
2x21 + 3x1x3 = −7,
2x21x3 = k.
Sustituyendo x3 = −3x1 obtenemos −7x21 = −7 de lo cual x1 = ±1, x2 = ±2
y x3 = ∓3. Usando k = 2x21x3 queda
k = −6⇒ x1 = 1, x2 = 2, x3 = −3,
k = 6⇒ x1 = −1, x2 = −2, x3 = 3.
	Polinomios en una variable
	Raíces en progresión