Descarga la aplicación para disfrutar aún más
Vista previa del material en texto
Caṕıtulo 16. Polinomios en una variable la conjugada y f(x) seŕıa de grado 8. Concluimos que la única posible ráız cuádruple de f(x) es x = 1. Entonces: f(1) = 0 f ′(1) = 0 f ′′(1) = 0 f ′′′(1) = 0 ⇔ 1 +m+ 10 + n+ p = 0 6 + 4m+ 30 + n = 0 5 + 2m+ 10 = 0 10 + 2m+ 5 = 0. Resolviendo el sistema anterior, obtenemos m = −15/2, n = −6, p = 5/2. 16.7. Polinomio de interpolación de Lagrange 1. Sean x0, x1, . . . , xn elementos distintos dos a dos de un cuerpo K. Sean λ0, λ1, . . . , λn elementos de K. Demostrar que existe un único polinomio p ∈ K[x] de grado ≤ n tal que p(x0) = λ0, p(x1) = λ1, . . . , p(xn) = λn. Al polinomio p se le llama polinomio de interpolación de Lagrange para los puntos (xi, λi), i = 0,1, . . . , n. 2. Encontrar en R[x] el polinomio de interpolación de Lagrange para los puntos (1, 3), (−1, 9), (3, 13). 3. Se considera la función f(x) = cos πx 4 . Hallar el polinomio de menor grado que toma los mismos valores que f en los puntos −2, −4/3, 0, 4/3, 2. Solución. 1. Unicidad. Si existieran dos polinomios p, q ∈ K[x] de grado ≤ n cumpliendo p(xi) = λi y q(xi) = λi para todo i = 0,1, . . . , n, entonces (p − q)(xi) = 0 para todo i = 0,1, . . . , n. Esto implicaŕıa que el polinomio p− q que es de grado ≤ n tendŕıa más de n ráıces y esto sólo puede ocurrir cuando p− q = 0, luego p = q. Existencia. El polinomio p(x) = n∑ i=0 λi (x− x0) . . . (x− xi−1)(x− xi+1) . . . (x− xn) (xi − x0) . . . (xi − xi−1)(xi − xi+1) . . . (xi − xn) es claramente de grado ≤ n y satisface p(xi) = λi para todo i = 0,1, . . . , n. 2. El polinomio de interpolación de Lagrange es en este caso p(x) = λ0 (x− x1)(x− x2) (x0 − x1)(x0 − x2) +λ1 (x− x0)(x− x2) (x1 − x0)(x1 − x2) +λ2 (x− x0)(x− x1) (x2 − x0)(x2 − x1) Polinomios en una variable Polinomio de interpolación de Lagrange
Compartir