problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (647)

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Caṕıtulo 16. Polinomios en una variable
16.10. Descomposición en suma de productos de
ráıces
Se consideran n elementos x1, x2, . . . , xn de un cuerpo K y un polinomio
p(x) con coeficientes en K y de grado menor o igual que n. Se desea estudiar
la existencia y unicidad de unos coeficientes c0, c1, . . . , cn en K tales que
p(x) = c0 + c1(x−x1)+ c2(x−x1)(x−x2)+ . . .+ cn(x−x1) . . . (x−xn) (∗)
1. Demostrar la unicidad de c0 y a continuación la de c1.
2. Demostrar la unicidad de todos los ci.
3. Demostrar la existencia de los ci.
4. Encontrar un algoritmo que permita el cálculo sucesivo de los ci mediante
operaciones racionales.
5. Aplicación al caso K = Q, p(x) = x5 + 32, x1 = −2, x2 = −1, x3 = 1,
x4 = 1, x5 = 2.
(Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. Industriales, UPM).
Solución. 1. Supongamos que se verifica la igualdad (∗). Entonces, p(x1) =
c0 lo cual implica que c0 está uńıvocamente determinado. Queda por tanto:
p(x)− p(x1) = c1(x− x1) + c2(x− x1)(x− x2) + . . .+ cn(x− x1) . . . (x− xn)
Consideremos el polinomio
p1(x) =
p(x)− p(x1)
x− x1
= c1 + c2(x− x2) + . . .+ cn(x− x2) . . . (x− xn)
Entonces, p1(x2) = c1 lo cual implica que c1 está uńıvocamente determinado.
2. Tenemos
p1(x)− c1 = p1(x)− p1(x2) = c2(x− x2) + . . .+ cn(x− x2) . . . (x− xn)
Consideremos el polinomio
p2(x) =
p1(x)− p1(x2)
x− x2
= c2 + c3(x− x3) + . . .+ cn(x− x3) . . . (x− xn)
Entonces, p2(x2) = c2 lo cual implica que c2 está uńıvocamente determinado.
Reiterando, obtenemos los polinomios p1, p2, . . . , pk, . . . con
pk(x) =
pk−1(x)− pk−1(xk)
x− xk