problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (659)

Vista previa del material en texto

Caṕıtulo 17. Cónicas
luego es un par de rectas confundidas.
c) Tenemos
A =
4 2 22 1 1
2 1 2
 , ∆ = 0, δ = ∣∣∣∣4 22 1
∣∣∣∣ = 0.
Se trata de un par de rectas paralelas. Además,
A11 +A22 =
∣∣∣∣1 11 2
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣4 22 2
∣∣∣∣ = 1 + 4 = 5 > 0,
luego es un par de rectas paralelas imaginarias.
17.2. Rectas que componen las cónicas degenera-
das
1. Las siguientes cónicas son degeneradas. Hallar las rectas que la componen.
a) x2 + 4xy + 4y2 − 2x− 4y − 3 = 0.
b) x2 + 3xy + 2y2 + 2x+ 5y − 3 = 0.
2. Hallar las rectas en las que degeneran las cónicas
a) x2 + 4xy + 4y2 + 2x+ 4y + 2 = 0.
b) x2 + y2 + 2x+ 1 = 0.
Solución. 1. a) Podemos expresar la cónica en la forma x2 + (4y − 2)x +
4y2 − 4y − 3 = 0. Resolviendo la ecuación de segundo grado en x
x =
2− 4y ±
√
16y2 − 16y + 4− 16y2 + 16y + 12
2
=
2− 4y ± 4
2
= {3− 2y,−1− 2y} .
Es decir,
x2 + 4xy + 4y2 − 2x− 4y − 3 = (x+ 2y − 3)(x+ 2y + 1),
y la cónica está compuesta por las rectas paralelas x + 2y − 3 = 0 y
x+ 2y + 1 = 0.
b) Podemos expresar la cónica en la forma x2 + (3y+ 2)x+ 2y2 + 5y−3 = 0.
Resolviendo la ecuación de segundo grado en x
x =
−3y − 2±
√
9y2 + 12y + 4− 8y2 − 20y + 12
2
	Cónicas
	Rectas que componen las cónicas degeneradas