problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (688)

Vista previa del material en texto

18.8 Miscelánea de superficies
Eliminando Z de entre las relaciones anteriores, obtenemos λ2c2/a2+µ2c2/b2 =
1. Sustituyendo por sus valores y simplificando obtenemos la ecuación del
cono,
X2
a2
+
Y 2
b2
− (Z − c)
2
c2
= 0.
2. El vector tangente a la curva en cada punto P
(
t, t2, t3
)
es v =
(
1, 2t, 3t2
)
.
Las ecuaciones paramétricas de la superficie S pedida son
X = t+ λ
Y = t2 + 2λt
Z = t3 + 3λt2.
3. Un vector paralelo al eje OZ es (0, 0, 1), por tanto, las ecuaciones pa-
ramétricas del cilindro que proyecta C sobre el eje OZ son
X = cos t
Y = sen t
Z = t+ λ.
Eliminando t y λ, obtenemos X2 + Y 2 = 1.
Un vector paralelo al eje OY es (0, 1, 0), por tanto, las ecuaciones paramétri-
cas del cilindro que proyecta C sobre el eje OY son
X = cos t
Y = λ+ sen t
Z = t.
Eliminando t y λ, obtenemos X − cosZ = 0. De manera análoga obtenemos
el tercer cilindro: Y − cosZ = 0.
4. Las rectas que cortan ortogonalmente al eje OZ son Y = λX, Z = µ.
Obligando a que corten a C, {
λ2X2 + µ2 = 1
X = 1.
Eliminando X obtenemos la relación λ2 + µ2 = 1 y sustituyendo por sus
valores λ = Y/X y µ = Z obtenemos la superficie pedida,
Y 2 +X2
(
Z2 − 1
)
= 0.