problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (601)

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Caṕıtulo 14. Producto escalar
Queda por tanto
f(x1, x2, x3) = 9(x1 − x3)2 + 4(x2 + 2x3)2 − 36x23.
4. Tenemos f(x1, x2, 1) = 9(x1− 1)2 + 4(x2 + 2)2− 36, por tanto la curva C
tiene por ecuaciones:
C ≡
(x1 − 1)
2
4
+
(x2 + 2)
2
9
= 1
x3 = 1.
En consecuencia es una elipse contenida en el plano x3 = 1, de centro
(1,−2, 0) y semiejes a = 2, b = 3. Hallemos la ecuación del cono. La rec-
tas que pasan por el origen y que no son paralelas al plano x3 = 1 son
de la forma X1/λ = X2/µ = X3/1 o equivalentemente de la forma X1 =
λX3, X2 = µX3. Obligando a que corten a la directriz:(λX3 − 1)
2
4
+
(µX3 + 2)
2
9
= 1
X3 = 1.
Eliminando X3 de las dos igualdades anteriores obtenemos 9(λ−1)2 +4(µ+
2)2 = 36. Esta última relación proporciona la condición que han de cumplir
las rectas X1 = λX3, X2 = µX3 para que pertenezcan al cono. Sustituyendo
en esta relación λ por X1/X2 y µ por X2/X3, obtenemos la ecuación del
cono:
9(X1 −X3)2 + 4(X1 + 2X3)2 − 36X23 = 0.
14.34. Subespacio ortogonal al de las matrices
diagonales
Sea E el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden n y entradas
reales. Se considera el producto escalar
〈A,B〉 = tr ABt, ∀A.B ∈ E.
Sea W el subespacio de E formado por las matrices diagonales. Determinar
W⊥, y hallar su dimensión.
Solución. Sea X ∈ E. Para queX pertenezca a W⊥ es necesario y suficiente
que X sea ortogonal a los elementos de una base de W. Elijamos B =
{D1, D2, . . . , Dn} como base de W siendo:
D1 =

1 0 . . . 0
0 0 . . . 0
...
...
0 0 . . . 0
 , D2 =

0 0 . . . 0
0 1 . . . 0
...
...
0 0 . . . 0
 , . . . , Dn =

0 0 . . . 0
0 0 . . . 0
...
...
0 0 . . . 1

	 Producto escalar
	 Subespacio ortogonal al de las matrices diagonales