AP3 Pré Cálculo Gabarito 2023.1

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
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AP3 – Pré-Cálculo para Engenharia – 2/2022- GABARITO
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Considere f(x) =
√
2x− 4
p(x) e p(x) = x
3 − 7x + 6. Faça o que se pede nas questões 1 e 2.
Questão 1 [1,5 ponto] Fatore o polinômio p(x) e encontre suas ráızes.
Solução:
Observemos que o polinômio possui 1 como raiz. Dáı, usando o dispositivo de Briot-Ruffini, fatoramos o polinômio
como o produto de x− 1 com um polinômio de grau 2:
p(x) = x3 − 7x + 6 = (x− 1)(x2 + x− 6).
O de grau 2 podemos analisar usando a Fórmula de Báshkara, e assim x2 + x− 6 = (x− 2)(x + 3). Portanto,
p(x) = x3 − 7x + 6 = (x− 1)(x− 2)(x + 3),
sendo suas ráızes 1, 2 e −3.
Questão 2 [2,0 pontos] Determine o doḿınio da função f , e os pontos onde f se anula (caso exista e pertença ao
doḿınio).
Solução: Devemos ter 2x− 4 ≥ 0 e p(x) 6= 0.
Mas 2x− 4 ≥ 0 se x ≥ 2. Pela fatoração de p(x) na questão 1, temos que p(x) = 0 em 1, 2, e −3.
Logo, o doḿınio de f é dado por {x ∈ R; x > 2} = (2,∞).
A função se anula se 2x− 4 = 0, isto é, se x = 2, que não pertence ao doḿınio. Logo, f não se anula.
Considere as funções f(x) = (3)x−1 e g(x) = log3
(
27x
)
e faça o que se pede nas questões 3 e 4.
Questão 3 [2,0 pontos] Determine a expressão simplificada de (g ◦ f)(x) (usando propriedades de logaritmo e
exponencial), e o valor de x tal que (g ◦ f)(x) = 0, caso exista.
Solução: Temos
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(3x−1) = log3(27 · (3x−1)) =
log3(27) + log3(3x−1) = 3 + x− 1 = 2 + x.
Assim, (g ◦ f)(x) = 0 se 2 + x = 0, ou seja, x = −2.
Pré-Cálculo para Engenharia AP1 2
Questão 4 [1,5 ponto] Calcule f(g(1/9)).
Solução:
Temos que g(x) = log3
(
27x), e assim, g(1/9) = log3
(
27/9) = log3
(
3) = 1.
Logo,
f(g(1/9)) = f(1) = 31−1 = 30 = 1.
Considere o gráfico da função f : [−3, 3]→ R abaixo e faça o que se pede nas questões 5, 6 e 7.
Questão 5 [1,0 ponto] Considere a função g definida por g(x) = f(x− 1) + 2, definida no maior doḿınio posśıvel.
Construa o gráfico da função g.
(Sugestão: faça os gráficos auxiliares, f1(x) = f(x− 1), g(x) = f(x− 1) + 2, nessa sequência)
Solução:
Gráfico da função auxiliar f1(x) = f(x− 1)
Gráfico da função auxiliar g(x) = f(x− 1) + 2
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Pré-Cálculo para Engenharia AP1 3
Questão 6 [1,0 ponto] Considere a função g definida por g(x) = 3 f(x + 3)−4, definida no maior doḿınio posśıvel.
Determine o doḿınio da função g.
Solução:
Como x + 3 ∈ [−3, 3], temos que −3 ≤ x + 3 ≤ 3. Logo, −6 ≤ x ≤ 0. Portanto, Dom(g) = [−6, 0].
Questão 7 [1,0 ponto] Determine a imagem da função g(x) = 2 f(x + 4) + 3.
Solução: Note que 0 ≤ f(x + 4) ≤ 5. Assim, 0 ≤ 2f(x + 4) ≤ 10. Logo, 3 ≤ 2f(x + 4) + 3 ≤ 13. Portanto,
Img = [3, 13].
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