Taller 04

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Taller 04 [ Clases 7 & 8 ]
Cálculo Integral - 2019/02
Escuela de Matemáticas
Facultad de Ciencias
Sede Medelĺın
Antes de resolver los ejercicios propuestos, repase tanto la teoŕıa como los ejemplos vistos en clase y los ejemplos del texto gúıa. Realice este taller individualmente ó en grupos.
Si tiene alguna duda o dificultad, consulte con los profesores y/o los monitores de la asignatura.
Integración por partes
1. Evalúe las siguientes integrales.
(a)
∫
x2 ln x dx
(b)
∫
(y2 + 2y) · cos y dy
(c)
∫
2 arctan x dx
(d)
∫
cos−1 x dx
(e)
∫
ln 3
√
x dx
(f)
∫ x√
x + 1
dx
(g)
∫
(ln x)2 dx
(h)
∫
e−y cos y dy
(i)
∫
x tan−1 x dx
(j)
∫
3x2 sen−1 x dx
(k)
∫
x sec2 x dx
(l)
∫ x
1 + sen x
dx
2. Elija una sustitución adecuada y después use partes.
(a)
∫
(sen−1 x)2 dx
(b)
∫
e sen
−1 x dx
(c)
∫
e
√
x dx
(d)
∫
tan−1
√
x dx
(e)
∫
cos θ · ln (sen θ) dθ
(f)
∫
esen θ sen 2θ dθ
(g)
∫ ln (ln x)
x
dx
(h)
∫
sen(ln x) dx
3. Calcule las siguientes integrales definidas.
(a)
∫ e
1
ln x
x2
dx
(b)
∫ 1
−1
| sen−1 x| dx
(c)
∫ 1
0
y
ey
dy
(d)
∫ 1
0
z
√
1 − z dz
4. Sea g una función dos veces diferenciable tal que g (0) = 7,
g (4) = 2 y g′(4) = 5/4. Halle el valor de
∫ 4
0
x g′′(x) dx.
5. Halle f (x) , suponiendo que∫
ex · f (x) dx = ex · f (x)−
∫
x−1ex dx.
6. Sea f derivable sobre I. Use partes para probar que∫
ex ·
[
f (x) + f ′(x)
]
dx = ex · f (x) + C
Use la fórmula anterior para evaluar las integrales:
(a)
∫
ex · (tan x + sec2 x) dx
(b)
∫
ex · 1 + sen x
1 + cos x
dx
(c)
∫ xex
(x + 1)2
dx
(d)
∫
ex · x
2 + 1
(x + 1)2
dx
7. Muestre que la regla de LIATE no es adecuada para calcular
las siguientes integrales.
(a)
∫
x3 · ex2 dx (b)
∫ x · e2x
(1 + 2x)2
dx
Integrales trigonométricas
8. Evalúe.
(a)
∫
sen2 x cos2 x dx
(b)
∫
sen2 x cos3 x dx
(c)
∫
sen3 x cos6 x dx
(d)
∫
sen3 x cos3 x dx
(e)
∫
csc x dx
(f)
∫
tan6 x sec4 x dx
(g)
∫
tan3 x sec5 x dx
(h)
∫
tan2 x sec x dx
(i)
∫
tan5 x dx
(j)
∫
cot2 x csc4 x dx
9. Utilice identidades adecuadas para evaluar.
(a)
∫
sen(6x) cos(2x) dx
(b)
∫
sen(5x) sen(3x) dx
(c)
∫
sen(4x) cos(6x) dx
(d)
∫
cos(7x) cos(3x) dx
10. Evalúe
∫
sen x cos x dx por cuatro métodos:
(a) sustituya u = cos x.
(b) sustituya u = sen x.
(c) sen 2x = 2 sen x cos x.
(d) integre por partes.
Explique las aparentes diferencias en las respuestas.
11. Use identidades y partes para evaluar
(a)
∫
e2x cos2 x dx (b)
∫
e2x sen x cos x dx
Sustitución trigonométrica
12. Evalúe.
(a)
∫ √9− x2
x2
dx
(b)
∫ 2
0
x3 dx√
16− x2
(c)
∫ w2 dw
(w2 + 7)2
(d)
∫ 1
0
x2√
4− x2
dx
(e)
∫ dx
x
√
x4 − 4
(f)
∫ dt
(4t2 − 9)3/2
(g)
∫ dx
(5− 4x− x2)3/2
(h)
∫ sec2 θ dθ
(4− tan2 θ)3/2
(i)
∫ e−x dx
(9e−2x + 1)3/2
(j)
∫
(ln w)3 dw
w
√
(ln w)2 − 4
1
Respuestas & sugerencias
1. (a) u = ln x, dv = x2 dx
(b) (y2 + 2y) · sen x + (2y + 2) · cos x− 2 sen x + C
(c) u = tan−1 x, dv = 2 dx
(d) x cos−1 x−
√
1− x2 + C
(e) u = ln 3
√
x, dv = dx
(f) u = x, dv = (x + 1)−1/2 dx
(g) x (ln x)2 − 2x ln x + 2x + C
(h)
1
2
· e−y (sin y− cos y) + C
(i)
1
2
·
[
x2 tan−1 x + tan−1 x− x
]
+ C
(j) u = sen−1 x, dv = 3x2 dx
(k) x tan x + ln |cos x|+ C
(l) Multiplique y divida por 1− sen x.
2. (a) w := sen−1 x, dx = cos w dw ⇒ I =
∫
w2 · cos w dw
(b) w := sen−1 w ⇒ I =
∫
ew · cos w dx
(c) w :=
√
x, dx = 2w dw ⇒ I =
∫
2w · ew dw
(d) (x + 1) · tan−1(
√
x)−
√
x + C
(e) x := sen θ, dx = cos θ dθ ⇒ I =
∫
ln x dx
(f) Use la identidad sen 2θ = 2 sen θ cos θ.
(g) ln x · ( ln (ln x)− 1 ) + C
(h) y := ln x, dx = ey dy ⇒ I =
∫
ey sen y dy
3. (a) 1− 2/e (b) π − 2 (c) (e− 2) /e (d) 4/15
4. Sug: u = x, dv = g′′ (x) dx ⇒ I = 10.
5. Sug: u = f (x) , dv = ex dx ⇒ u′ = f ′ (x) dx = x−1 dx.
6. Sug: Aplique partes para obtener:
∫
f (x) · ex dx = f (x) · ex −
∫
f ′ (x) · ex dx.
(a) f (x) = tan x
(b) f (x) = tan (x/2)
(c) f (x) = 1/ (x + 1)
(d) f (x) = (x− 1)/(x + 1)
7. (a) u := x2, dv = x · ex2 dx ⇒
ex
2 (
x2 − 1
)
2
+ C
(b) u := x · e2x, dv = dx
(1 + 2x)2
⇒ e
2x
4 (1 + 2x)
+ C
8. (a)
1
8
[
x +
sen(4x)
4
]
+ C
(b)
1
3
sen3(x)− 1
5
sen5(x) + C
(c)
1
7
cos7(x)− 1
9
cos9(x) + C
(d)
1
4
sen4(x)− 1
6
sen6(x) + C
(e) ln |csc x− cot x|+ C
(f)
1
7
tan7(x) +
1
9
tan9(x) + C
(g)
1
7
sec7(x)− 1
5
sec5(x) + C
(h)
1
2
[ sec x · tan x − ln |sec x + tan x| ] + C
(i)
1
4
sec4(x)− 1
2
sec2(x)− 1
2
tan2(x) + ln | sec(x)|+ C
(j) −1
3
cot3(x)− 1
5
cot5(x) + C
9. (a) − 1
16
[ 4 cos(4x) + cos(8x) ] + C
(b)
1
16
[ 8 sen(2x)− sen(8x) ] + C
(c)
1
20
[ 5 cos(2x)− cos(10x) ] + C
(d)
1
40
[ 5 sen(2x) + 2 sen(10x) ] + C
10. (a) −1
2
cos2 x + C1
(c) −1
4
cos 2x + C3
(b)
1
2
sen2 x + C2
(d)
1
2
sen2 x + C4
11. (a)
1
4
e2x +
1
8
e2x[cos(2x) + sen(2x)] + C
(b)
e2x
8
[sen(2x)− cos(2x)] + C
12. (a) −
√
9− x2
x
− sen−1
( x
3
)
+ C
(b) −12
√
12 +
128
3
(c)
√
7
14
tan−1
(
w√
7
)
− 1
2
w
w2 + 7
+ C
(d) 2
[
π
6
−
√
3
4
]
(e)
1
4
tan−1
(√
x4 − 4
2
)
+ C
(f) − 2t
18
√
4t2 − 9
+ C
(g)
1
9
(
x + 2√
9− (x + 2)2
)
+ C
(h)
1
4
[
tan θ√
4− tan2 θ
]
+ C
(i) − e
−x
√
9e−2x + 1
+ C
(j)
1
3
√
(ln w)2 − 4
[
(ln w)2 + 8
]
+ C.
2