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Taller de integrales
Evalúe las integrales planteadas
1. Fracciones parciales:
a)
∫
dx
(x2 − 1)2
b)
∫
y2 + 2y + 1
(y2 + 1)2
dy
c)
∫
2t+ 2
(t2 + 1)(t− 1)3
dt
d)
∫
1
x3 − 1
dx
e)
∫
3x4
x3 + 1
dx
f )
∫
y4 + y2 − 1
y3 + y
dy
g)
∫
dx
x6 − 1
dx
Para las siguientes integrales, realice primero una
sustitución conveniente
h)
∫
etdt
e2t + 3et + 2
i)
∫
cos y dy
sen2 y + sen y − 6
j )
∫
(x− 2)2 tan−1(2x)− 12x3 − 3x
(4x2 + 1)(x− 2)2
dx
k)
∫
1 + ex
1− ex
dx (Reto!)
2. sustituciones diversas:(*)
a)
∫ √
x
4
√
x3 + 1
dx
b)
∫
6
√
x+ 1
6
√
x7 +
4
√
x5
dx
Para las siguientes integrales, realice la sustitución
z = tan x2
c)
∫
dx
4− 5 senx
d)
∫
dx
senx− cosx
e)
∫
cosx dx
1− cosx
3. integración por dos métodos:
(compare sus respuestas)
a)
∫
secx dx
primer método: use la sustitución z = tan x2
segundo método: escriba secx en términos de
cosx, multiplique y divida por cosx, use la iden-
tidad cos2 x = 1 − sen2 x y haga una sustitución
adecuada para luego realizar fracciones parciales
b)
∫
cscx dx (análogo al anterior)
c)
∫
1
1 + cosx
dx
primer método: use la sustitución z = tan x2
segundo método: multiplique y divida por
1− cosx
d)
∫
dx
1 + senx+ cosx
primer método: use la sustitución z = tan x2
segundo método: multiplique y divida por
(1 + senx)− cosx
Miscelánea de ejercicios
Identifique el(los) método(s) más adecuado(s) para evaluar la
integral
1.
∫
x cos2 x dx
2.
∫
x
√
1− x dx
3.
∫ √
z2 + 1 dz
4.
∫
(ln 2x)2 dx
5.
∫
2
√
x−1
√
x
dx
6.
∫
x sen−1 x dx
7.
∫
(sen−1 x)2 dx
8.
∫
xex cosx dx
9.
∫
etan
−1 x
(1 + x2)3/2
dx
10.
∫
9dv
81− v4
Retos:
11.
∫
x dx√
8− 2x2 − x4
12.
∫ √
1
θ2
+
1
θ4
dθ
13.
∫
dθ
1− tan2 θ
14.
∫
dt
t−
√
1− t2
15.
∫
(2e2x − ex) dx√
3e2x − 6ex − 1
16.
∫
ln(
√
x+
√
1 + x) dx
17.
∫
1
x4 + 4
dx
(sugerencia: complete un trinomio cuadrado perfecto)
18.
∫ √
tanx dx
(sugerencia: está resuelto en el texto del profesor Jesús
del Valle)
Integrales de funciones trigonométri-
cas hiperbólicas(*)
Recordemos que cos2 θ + sen2 θ = 1. Si hacemos x = cos θ
y y = sen θ, se sigue que las funciones trigonométricas
satisfacen la ecuación del ćırculo unitario x2 + y2 = 1
por esta razón, estas funciones trigonométricas se les llama
funciones trigonométricas circulares.
Las funciones
eθ + e−θ
2
y
eθ − e−θ
2
aparecen con mucha
frecuencia en aplicaciones a la ingenieŕıa y se les ha dado un
nombre especial de acuerdo a sus propiedades y semejanzas
con las funciones trigonométricas coseno y seno. Veamos:
Es fácil ver que la derivada de la primera función es
la segunda y viceversa (algo muy similar a lo que ocurre
con las funciones coseno y seno). También es fácil ver que(
eθ + e−θ
2
)2
−
(
eθ − e−θ
2
)2
= 1 (verif́ıcalo!)
Si hacemos x =
eθ + e−θ
2
y y =
eθ − e−θ
2
, se sigue que
estas funciones satisfacen la ecuación de la hipérbola unitaria
x2 − y2 = 1, por estas razones a estas funciones se les llama
funciones trigonométricas hiperbólicas y se simbolizan por:
cosh θ =
eθ + e−θ
2
senh θ =
eθ − e−θ
2
Nótese que de lo anterior se tiene la “identidad”
cosh2 θ − senh2 θ = 1
A continuación se definen, por analoǵıa con las funciones
trigonométricas, las restantes funciones trigonométricas hi-
perbólicas:
tanh θ =
senh θ
cosh θ
coth θ =
cosh θ
senh θ
sech θ =
1
cosh θ
csch θ =
1
senh θ
De acuerdo a las definiciones anteriores se puede verificar las
siguientes “identidades hiperbólicas”(hacerlo!)
cosh2 θ = 1 + senh2 θ
sech2 θ = 1− tanh2 θ
csch2 θ = coth2 θ − 1
 Pitagóricas
cosh 2θ = cosh2 θ + senh2 θ
senh 2θ = 2 senh θ cosh θ
}
Argumento duplo
cosh2 θ =
cosh 2θ + 1
2
senh2 θ =
cosh 2θ − 1
2
 Disminución de potencia
TABLA DE DERIVADAS
d
dx senhx = coshx
d
dx coshx = senhx
d
dx tanhx = sech
2 x
d
dx cothx = − csch
2 x
d
dx sechx = − sechx tanhx
d
dx cschx = − cschx cothx
TABLA DE INTEGRALES∫
senhx dx = coshx+ C∫
coshx dx = senhx+ C∫
sech2 x dx = tanhx+ C∫
csch2 x dx = − cothx+ C∫
sechx tanhx dx = − sechx+ C∫
cschx cothx dx = − cschx+ C
Maneje un procedimiento similar al que se hizo con las in-
tegrales de las funciones trigonométricas para resolver las si-
guientes integrales:
1.
∫
senh3 x coshx dx
2.
∫
senh2 x cosh2 x dx
3.
∫
sech4 x tanh3/2 x dx
4.
∫
sech7/3 x tanh3 x dx
5.
∫
tanh5 x dx
Use una sustitución trigonométrica hiperbólica adecuada
para resolver las siguientes integrales:
1.
∫
dx√
x2 − 4
dx
2.
∫
dx
(4x2 − 9)3/2
dx
3.
∫
dx√
x2 + 2x
dx