SoluciónParcial_1 Calculo_Integral_20162

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1. Calcular la integral ∫
1
√𝑥− √𝑥3
4 𝑑𝑥 
Solución 
 ∫
1
√𝑥− √𝑥3
4 𝑑𝑥 = ∫
1
𝑥1/2−𝑥3/4
𝑑𝑥, Como 𝑚𝑐𝑚 (2,4) = 4 entonces 
 𝑥 = 𝑧4 ⇒ 𝑑𝑥 = 4𝑧3𝑑𝑧 Luego 
∫
1
√𝑥− √𝑥3
4 𝑑𝑥 = ∫
1
𝑧2−𝑧3
4𝑧3𝑑𝑧 = −4 ∫
𝑧
𝑧−1
𝑑𝑧 = −4 ∫
𝑧−1+1
𝑧−1
𝑑𝑧 
 = −4 ∫ (1 +
1
𝑧−1
) 𝑑𝑧 = −4(𝑧 + ln(𝑧 − 1)) + 𝐶 
 = −4(√𝑥
4
+ ln(√𝑥
4
− 1)) + 𝐶 
 
 
2. Calcular la integral ∫ 𝑒√𝑥𝑑𝑥 
Solución: Sea 𝑧 = √𝑥 ⇒ 𝑑𝑧 =
1
2√𝑥
𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑥 = 2√𝑥𝑑𝑧 ⇒ 𝑑𝑥 = 2𝑧𝑑𝑧 luego 
∫ 𝑒√𝑥𝑑𝑥 = ∫ 2𝑧𝑒𝑧𝑑𝑧. Aplicando integración por partes 
Sea 𝑢 = 2𝑧 y 𝑑𝑣 = 𝑒𝑧𝑑𝑧 entonces 𝑑𝑢 = 2𝑑𝑧 y 𝑣 = 𝑒𝑧 luego 
∫ 𝑒√𝑥𝑑𝑥 = 2𝑧𝑒𝑧 − 2 ∫ 𝑒𝑧 𝑑𝑧 = 2𝑧𝑒𝑧 − 2𝑒𝑧 + 𝐶 = 2𝑒√𝑥(√𝑥 − 1) + 𝐶 
 
 
3. Calcular la integral 
∫ √5 − 4𝑥 − 𝑥2𝑑𝑥 
Solución 
∫ √5 − 4𝑥 − 𝑥2𝑑𝑥 = ∫ √5 − (𝑥2 + 4𝑥 + 4) + 4 𝑑𝑥 = ∫ √9 − (𝑥 + 2)2 𝑑𝑥, 
Sea 𝑥 + 2 = 3𝑠𝑒𝑛𝜃 ⇒ 𝑑𝑥 = 3𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 y 𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑥+2
3
⇒ 𝜃 = 𝑠𝑒𝑛−1
𝑥+2
3
, además 
por Pitágoras y usando trigonometría 𝑐𝑜𝑠𝜃 =
√9−(𝑥+2)2
 3
 luego 
 
 
 
∫ √5 − 4𝑥 − 𝑥2𝑑𝑥 = ∫ √9 − 9𝑠𝑒𝑛2𝜃 3𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 = ∫ √9(1 − 𝑠𝑒𝑛2𝜃) 3𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 
= ∫ √9𝑐𝑜𝑠2𝜃 3𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 = ∫ 9𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑑𝜃 =
9
2
∫(1 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃)𝑑𝜃 =
9
2
𝜃 +
9
4
𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝐶 
=
9
2
𝜃 +
9
2
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝐶 =
9
2
𝑠𝑒𝑛−1
𝑥+2
3
+
(𝑥+2)√9−(𝑥+2)2
 2
+ 𝐶 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA 
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales 
Instituto de Matemáticas 
Cursos de Servicios para Ingeniería y/o 
Facultad de Química Farmacéutica 
2016-2 
 
 CALIFICACION 
ALUMNO: SOLUCION Carné: 
Asignatura: Cálculo Integral Profesor: Jorge Iván Londoño 
Parcial # 1 Valor: 25% Fecha: 6 de septiembre de 2016 
4. Calcular la integral ∫
𝑡𝑎𝑛5(𝑠𝑒𝑛−1𝑥)
√1−𝑥2
𝑑𝑥 
Solución: Sea 𝑧 = 𝑠𝑒𝑛−1𝑥 ⇒ 𝑑𝑧 =
1
√1−𝑥2
𝑑𝑥 luego 
∫
𝑡𝑎𝑛5(𝑠𝑒𝑛−1𝑥)
√1−𝑥2
𝑑𝑥 = ∫ 𝑡𝑎𝑛5𝑧𝑑𝑧 = ∫ 𝑡𝑎𝑛3𝑧𝑡𝑎𝑛2𝑧𝑑𝑧 = ∫ 𝑡𝑎𝑛3𝑧(𝑠𝑒𝑐2𝑧 − 1)𝑑𝑧 
 = ∫ 𝑡𝑎𝑛3𝑧𝑠𝑒𝑐2𝑧𝑑𝑧 − ∫ 𝑡𝑎𝑛3𝑧𝑑𝑧 
 = ∫ 𝑡𝑎𝑛3𝑧𝑠𝑒𝑐2𝑧𝑑𝑧 − ∫ 𝑡𝑎𝑛𝑧𝑡𝑎𝑛2𝑧𝑑𝑧 
 = ∫ 𝑡𝑎𝑛3𝑧𝑠𝑒𝑐2𝑧𝑑𝑧 − ∫ 𝑡𝑎𝑛𝑧(𝑠𝑒𝑐2𝑧 − 1)𝑑𝑧 
 = ∫ 𝑡𝑎𝑛3𝑧𝑠𝑒𝑐2𝑧𝑑𝑧 − ∫ 𝑡𝑎𝑛𝑧𝑠𝑒𝑐2𝑧𝑑𝑧 + ∫ 𝑡𝑎𝑛𝑧𝑑𝑧 
Para resolver las dos primeras integrales hacemos el cambio de variable 
𝑢 = 𝑡𝑎𝑛𝑧 ⇒ 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐2𝑧𝑑𝑧, Luego 
∫ 𝑡𝑎𝑛3𝑧𝑠𝑒𝑐2𝑧𝑑𝑧 − ∫ 𝑡𝑎𝑛𝑧𝑠𝑒𝑐2𝑧𝑑𝑧 = ∫ 𝑢3𝑑𝑢 − ∫ 𝑢𝑑𝑢 =
𝑢4
4
−
𝑢2
2
=
𝑡𝑎𝑛4𝑧
4
−
𝑡𝑎𝑛2𝑧
2
 
Además sabemos que ∫ 𝑡𝑎𝑛𝑧𝑑𝑧 = −ln (𝑐𝑜𝑠𝑧) Por lo tanto 
∫
𝑡𝑎𝑛5(𝑠𝑒𝑛−1𝑥)
√1−𝑥2
𝑑𝑥 =
𝑡𝑎𝑛4(𝑠𝑒𝑛−1𝑥)
4
−
𝑡𝑎𝑛2(𝑠𝑒𝑛−1𝑥)
2
− ln(𝑐𝑜𝑠(𝑠𝑒𝑛−1𝑥)) + 𝐶 
 
5. a. Encuentre la ecuación de la curva que tiene a 𝑥 + 𝑦 = 3 como recta 
tangente en el punto (2, 1) y y satisface la ecuación diferencial 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
= 1 + 𝑥 +
𝑥2. 
 
Solución: Sea 𝑧 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
⇒
𝑑𝑧
𝑑𝑥
=
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
⇒
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= 1 + 𝑥 + 𝑥2 ⇒ 𝑑𝑧 = (1 + 𝑥 + 𝑥2)𝑑𝑥 
⇒ ∫ 𝑑𝑧 = ∫(1 + 𝑥 + 𝑥2)𝑑𝑥 ⇒ 𝑧 = 𝑥 +
𝑥2
2
+
𝑥3
3
+ 𝐶, es decir 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥 +
𝑥2
2
+
𝑥3
3
+ 𝐶 
⇒ 𝑑𝑦 = (𝑥 +
𝑥2
2
+
𝑥3
3
+ 𝐶) 𝑑𝑥 ⇒ ∫ 𝑑𝑦 = ∫ (𝑥 +
𝑥2
2
+
𝑥3
3
+ 𝐶) 𝑑𝑥, es decir 
𝑦 =
𝑥2
2
+
𝑥3
6
+
𝑥4
12
+ 𝐶𝑥 + 𝐾 
Como 𝑥 + 𝑦 = 3 es recta tangente en el punto (2, 1), entonces 𝑚 = 𝑓′(2) =
−1, es decir 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −1 cuando 𝑥 = 2, por lo tanto −1 = 2 +
4
2
+
8
3
+ 𝐶 ⇒ 𝐶 = −
23
3
 
Como la ecuación de la curva pasa por el punto (2, 1), entonces 𝑦 = 1 cuando 
𝑥 = 2, por lo tanto 1 =
4
2
+
8
6
+
16
12
−
46
3
+ 𝐾 ⇒ 𝐾 =
35
3
. Por lo tanto la ecuación de 
la curva es 
𝑦 =
𝑥2
2
+
𝑥3
6
+
𝑥4
12
−
23𝑥
3
+
35
3
 
b. Encuentre la solución general de la E.D. 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3𝑥𝑦2 
Solución: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3𝑥𝑦2 ⇒
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
3𝑥
𝑦−2
⇒ 𝑦−2𝑑𝑦 = 3𝑥𝑑𝑥 ⇒ ∫ 𝑦−2𝑑𝑦 = ∫ 3𝑥𝑑𝑥 
⇒ −𝑦−1 =
3
2
𝑥2 + 𝐶 ⇒ −
1
𝑦
=
3
2
𝑥2 + 𝐶