Calculo_Vectorial-15

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La trayectoria del paquete viene dada por 
 donde el origen es el punto en el suelo directamente
debajo del plano en el momento del lanzamiento. ¿Cuántos metros
horizontales antes del objetivo se debe lanzar el paquete para
golpear el objetivo?
53. La trayectoria de una bala viene dada por
 donde 
, y . ¿Cuándo llegará la bala al suelo? ¿A qué
distancia del cañón caerá la bala al suelo? (Solución)
54. Usa la tecnología para dibujar la curva representada por 
.
55. Usa la tecnología para dibujar 
. (Solución)
56. Dibuja la curva conocida como epitrocoide, que da la trayectoria
de un punto en un círculo de radio a medida que rueda en el exterior
de un círculo de radio . Las ecuaciones son
haz .
57. Usa la tecnología para dibujar la curva espiral dada por 
. (Solución)
58. Usa la tecnología para graficar la curva dada por las ecuaciones
paramétricas
Esta curva es conocida como la bruja de Agnesi.
x = 100t, y = −4.9t +2
4000, t ≥ 0
x = v (cosα)t, y =0 v (senα)t− gt0 2
1 2 v =0 500m/s, g =
9.8m/s2 α = 30∘
x =
sen(4t), y = sen(3t), 0 ≤ t ≤ 2π
x = 2tan(t), y =
3sec(t), −π ≤ t ≤ π
b
a
x = (a+ b)cost−c•cos(
b
(a+ b)t
)
y = (a+ b)sent−c•sen(
b
(a+ b)t)
a = 1, b = 2, c = 1
x =
tcos(t), y = tsen(t), −2π ≤ t ≤ 2π
x = 2cot(t), y = 1−cos(2t), −π/2 ≤ t ≤ π/2.
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https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Calculo_III/Ejercicios/11/r53.html
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Calculo_III/Ejercicios/11/r55.html
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Calculo_III/Ejercicios/11/r57.html
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59. Dibuja la curva dada por las ecuaciones paramétricas 
, donde −2 ≤ ≤ 2. (Solución)
1.3 Cálculo de curvas paramétricas
Ahora que hemos introducido el concepto de una curva
parametrizada, nuestro siguiente paso es aprender cómo trabajar
con este concepto en el contexto del cálculo. Por ejemplo, si
conocemos una parametrización de una curva dada, ¿es posible
calcular la pendiente de una recta tangente a la curva? ¿Qué tal la
longitud de arco de la curva? ¿O el área bajo la curva?
Otro escenario: supongamos que nos gustaría representar la
ubicación de una pelota de béisbol después de que la pelota deja la
mano de un lanzador. Si la posición de la pelota de béisbol está
representada por la curva plana , entonces deberíamos
poder usar el cálculo para encontrar la velocidad de la pelota en
cualquier momento dado. Además, deberíamos poder calcular la
distancia que ha recorrido esa bola en función del tiempo.
1.3.1 Derivadas de ecuaciones paramétricas
Comenzamos preguntando cómo calcular la pendiente de una recta
tangente a una curva paramétrica en un punto. Considera la curva
plana definida por las ecuaciones paramétricas.
La gráfica de esta curva aparece en la figura 1.10. Es un segmento de
recta que comienza en y termina en .
x =
cosh(t), y = senh(t) t
(x(t), y(t))
x(t) = 2t+ 3, y(t) = 3t−4, −2 ≤ t ≤ 3.
(−1,−10) (9, 5)
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https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Calculo_III/Ejercicios/11/r59.html
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Calculo_III/imagenes/cap1/110.png
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Figura 1.10. Gráfico del segmento de recta descrito por las ecuaciones
paramétricas dadas.
Podemos eliminar el parámetro resolviendo primero la ecuación 
 para t:x(t) = 2t+ 3
x(t)
x− 3
t
= 2t+ 3
= 2t
=
2
x− 3
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