Calculo_Vectorial-19

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Encontrando el área bajo una curva
paramétrica
Encuentra el área bajo la curva de la cicloide definida por las
ecuaciones
La siguiente escena interactiva, permite calcular el área bajo la
cicloide. Cambia los límites de integración para obtener otras áreas.
Encuentra el área bajo la curva del hipocicloide definida por las
ecuaciones
x(t) = t−sent, y(t) = 1−cost, 0 ≤ t ≤ 2π.
x(t) = 3cost+ cos3t, y(t) = 3sent−sen3t, 0 ≤ t ≤ π
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Juan Rivera
Sello
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Sugerencia
Usa la ecuación, junto con las identidades 
 y 
La hipocicloide del ejercicio es conocida como Astroide (hipocicloide
de cuatro ramas). En la siguiente escena interactiva, verifica el cálculo
del área en el intervalo [0, 2π] y observa que su construcción es de
derecha a izquierda, en la mitad de dicho intervalo.
1.3.4 Longitud de arco de una curva paramétrica
Además de encontrar el área bajo una curva paramétrica, a veces
necesitamos encontrar la longitud del arco de una curva paramétrica.
En el caso de un segmento de recta, la longitud del arco es la misma
que la distancia entre los puntos finales.
senαsenβ =
[cos(α−β)−cos(α+2
1 β)] sen t =2 2
1−cos2t
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Juan Rivera
Sello
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Si una partícula viaja desde el punto hasta el punto a lo largo de
una curva, entonces la distancia que recorre esa partícula es la
longitud del arco. Para desarrollar una fórmula para la longitud del
arco, comenzamos con una aproximación por segmentos de recta
como se muestra en el siguiente gráfico.
Figura 1.13. Aproximación de una curva por segmentos de recta.
Dada una curva plana definida por las funciones 
, comenzamos dividiendo el intervalo en 
subintervalos iguales: . El ancho de
cada subintervalo viene dado por . Podemos calcular
la longitud de cada segmento de recta:
Luego los sumamos. Dejamos que denote la longitud de arco exacta
y denote la aproximación por n segmentos de recta:
A B
x = x(t), y =
y(t), a ≤ t ≤ b [a, b] n
t =0 a < t <1 t <2 ... < t =n b
Δt = (b−a)/n
d =1 (x(t ) − x(t )) + (y(t ) − y(t ))1 0 2 1 0 2
d =2 , etc.(x(t ) − x(t )) + (y(t ) − y(t ))2 1 2 2 1 2
s
sn
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