Calculo_Vectorial-40

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Figura 2.2. (a) Un vector está representado por un segmento de recta
dirigida desde su punto inicial hasta su punto final. (b) Los vectores a 
son equivalentes.
Dibujando vectores
Dibuja un vector en el plano desde el punto inicial hasta
el punto terminal .
2.2.2 Combinando Vectores
Los vectores tienen muchas aplicaciones en la vida real, incluidas
situaciones que implican fuerza o velocidad. Por ejemplo, considera
las fuerzas que actúan en un bote que cruza un río. El motor del bote
genera una fuerza en una dirección, y la corriente del río genera una
fuerza en otra dirección. Ambas fuerzas son vectores.
v1 v5
P (1, 1)
Q(8, 5)
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Debemos tener en cuenta tanto la magnitud como la dirección de
cada fuerza si queremos saber a dónde irá el bote.
Un segundo ejemplo que involucra vectores es un mariscal de campo
lanzando una pelota de fútbol. El mariscal de campo no lanza la pelota
paralela al suelo, sino que apunta hacia el aire. La velocidad de su
lanzamiento puede ser representada por un vector. Si sabemos con
qué fuerza arroja la pelota (magnitud, en este caso, velocidad) y el
ángulo (dirección), podemos decir qué tan lejos viajará la pelota por el
campo.
Un número real a menudo se llama escalar en matemáticas y física. A
diferencia de los vectores, generalmente se considera que los
escalares solo tienen una magnitud, pero no una dirección.
Multiplicar un vector por un escalar cambia la magnitud del vector.
Esto se llama multiplicación por un escalar. Ten en cuenta que
cambiar la magnitud de un vector no indica un cambio en su
dirección. Por ejemplo, el viento que sopla de norte a sur puede
aumentar o disminuir su velocidad mientras mantiene su dirección de
norte a sur.
DEFINICIÓN
El producto kv de un vector v y un escalar k es un vector con una
magnitud que es |k| veces la magnitud de v, y con una dirección
que es la misma que la dirección de v si k > 0, y opuesta a la
dirección de v si k < 0. Esto se llama multiplicación por un
escalar. Si k = 0 o v = 0, entonces kv = 0.
Como es de esperar, si k = −1, denotamos el producto kv como
kv = (−1)v = −v
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Observa que −v tiene la misma magnitud que v, pero tiene la
dirección opuesta (Figura 2.4 (d)).
Figura 2.4. (a) El vector original v tiene una longitud unidades. (b) La
longitud de 2v es igual a 2 unidades. (c) La longitud de v/2 es /2
unidades. (d) Los vectores v y −v tienen la misma longitud pero direcciones
opuestas.
Otra operación que podemos realizar es la suma de vectores, pero
como cada vector puede tener su propia dirección, el proceso es
diferente de sumar dos números. El método gráfico más común para
sumar dos vectores, que consiste en colocar el punto inicial del
segundo vector en el punto terminal del primero, como en la Figura
2.5 (a). Para ver por qué esto tiene sentido, supongamos, por ejemplo,
que ambos vectores representan un desplazamiento. Si un objeto se
mueve primero desde el punto inicial hasta el punto terminal del
vector v, luego desde el punto inicial hasta el punto terminal del
vector w, el desplazamiento general es el mismo que si el objeto
hubiera hecho un solo movimiento desde el punto inicial hasta el
punto final del vector v + w. Por razones obvias, este enfoque se
llama el método del triángulo. Tenga en cuenta que si hubiéramos
cambiado el orden, de modo que w fuera nuestro primer vector y v
fuera nuestro segundo vector, habríamos terminado en el mismo
lugar (nuevamente, observa la Figura 2.5 (a)). Por lo tanto, v + w = w +
v.
n
n n
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