Calculo_Vectorial-44

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Propiedades de las operaciones vectoriales
i. Propiedad conmutativa: u + v = v + u
ii. Propiedad asociativa: (u + v) + w = u + (v + w)
iii. Propiedad de identidad aditiva: u + 0 = u
iv. Propiedad inversa: u + (-u) = 0
v. Asociatividad de la multiplicación escalar: r(su) = (rs)u
vi. Propiedad distributiva: (r + s)u = ru + su
vii. Propiedad distributiva: r(u + v) = ru + r v
viii. Identidad y nulo: 1u = u, 0u = 0
Prueba de la propiedad conmutativa
Sea y . Aplica la propiedad conmutativa
para números reales:
Prueba de la propiedad distributiva
Aplica la propiedad distributiva para números reales:
u = ⟨x , y ⟩1 1 v = ⟨x , y ⟩2 2
u+ v = ⟨x +1 x , y +2 1 y ⟩ =2 ⟨x +2 x , y +1 2 y ⟩ =1 v + u
r(u+ v) = r ⋅ ⟨x + x , y + y ⟩1 2 1 2
= ⟨r(x + x ), r(y + y )⟩1 2 1 2
= ⟨rx + rx , ry + ry ⟩1 2 1 2
= ⟨rx , ry ⟩ + ⟨rx , ry ⟩1 1 2 2
= ru+ rv
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Hemos encontrado los componentes de un vector dados sus puntos
iniciales y finales. En algunos casos, solo podemos tener la magnitud y
la dirección de un vector, no los puntos. Para estos vectores, podemos
identificar los componentes horizontal y vertical usando
trigonometría (Figura 2.15).
Figura 2.15. Los componentes de un vector forman los catetos de un
triángulo rectángulo, con el vector como hipotenusa.
Considera el ángulo θ formado por el vector v y el eje x positivo.
Podemos ver desde el triángulo que los componentes del vector v son
. Por lo tanto, dado un ángulo y la magnitud de
un vector, podemos usar el coseno y el seno del ángulo para
encontrar las componentes del vector.
Forma componente
Encuentra la forma componente de un vector con magnitud 4
que forma un ángulo de -45° con el eje x
⟨∥v∥cosθ, ∥v∥senθ⟩
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Vectores unitarios
Un vector unitario es un vector con magnitud 1. Para cualquier vector
distinto de cero v, podemos usar la multiplicación por un escalar para
encontrar un vector unitario u que tenga la misma dirección que v.
Para hacer esto, multiplicamos el vector por el recíproco de su
magnitud:
Recuerda que cuando definimos la multiplicación escalar, notamos
que . Para , se deduce que 
. Decimos que u es el vector unitario en la dirección de
v (figura 2.17). El proceso de usar la multiplicación escalar para
encontrar un vector unitario con una dirección dada se llama
normalización.
Figura 2.17. El vector v y el vector unitario asociado . En este
caso, .
u = v
∥v∥
1
∥kv∥ = ∣k∣ ⋅ ∥v∥ u = v∥v∥
1 ∥u∥ =
(∥v∥) =∥v∥
1 1
u = v∥v∥
1
∥v∥ > 1
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