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/ Figura 2.67. En tres dimensiones, es posible que dos rectas no se crucen, incluso cuando tienen direcciones diferentes. Para clasificar las rectas como paralelas pero no iguales, iguales, intersectantes u oblicuas, necesitamos saber dos cosas: si los vectores direccionales son paralelos y si las rectas comparten un punto (Figura 2.68). Figura 2.68. Determina la relación entre dos rectas en función de si sus vectores direccionales son paralelos o si comparten un punto. 263 / Clasificación de rectas en el espacio Para cada par de rectas, determina si las rectas son iguales, paralelas pero no iguales, oblicuas o intersectadas. a. b. c. 2.6.4 Ecuaciones para un plano Sabemos que una recta está determinada por dos puntos. En otras palabras, para dos puntos distintos, hay exactamente una recta que pasa a través de esos puntos, ya sea en dos dimensiones o en tres. Del mismo modo, dados tres puntos que no todos se encuentran en la misma recta, hay un plano único que pasa por estos puntos. Así como una recta está determinada por dos puntos, un plano está determinado por tres. Esta puede ser la forma más sencilla de caracterizar un plano, pero también podemos usar otras descripciones. Por ejemplo, dadas dos rectas distintas que se intersectan, hay exactamente un plano que contiene ambas rectas. L :1 x = 2s−1, y = s−1, z = s−4 L :2 x = t−3, y = 3t+ 8, z = 5−2t L :1 x = −y = z L :2 =2 x−3 y = z−2 L :1 x = 6s−1, y = −2s, z = 3s+ 1 L :2 =6 x−4 =−2 y+3 3 z−1 264 / Un plano también está determinado por una recta y cualquier punto que no se encuentre en la recta. Estas caracterizaciones surgen naturalmente de la idea de que un plano está determinado por tres puntos. Quizás la caracterización más sorprendente de un plano es en realidad la más útil. Imagina un par de vectores ortogonales que comparten un punto inicial. Visualiza agarrando uno de los vectores y girándolo. A medida que gira, el otro vector gira y barre un plano. Aquí, describimos ese concepto matemáticamente. Sea un vector y un punto. Entonces, el conjunto de todos los puntos tal que es ortogonal a forma un plano (Figura 2.69). Decimos que es un vector normal, o perpendicular al plano. Recuerda, el producto escalar de los vectores ortogonales es cero. Este hecho genera la ecuación vectorial de un plano: . Reescribir esta ecuación proporciona formas adicionales de describir el plano: n = ⟨a, b, c⟩ P = (x , y , z )0 0 0 Q = (x, y, z) PQ n n n ⋅ =PQ 0 n ⋅ PQ ⟨a, b, c⟩ ⋅ ⟨x−x , y−y , z−z ⟩0 0 0 a(x−x ) + b(y−y ) + c(z−z )0 0 0 = 0 = 0 = 0 265 https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Calculo_III/imagenes/cap2/269.png
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