Angulos quadrilateros e poligonos

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Mas antes de começar, atente para as seguintes dicas: 
1) Estudar a teoria antes de começar a resolver os exercícios; 
2) Comece do mais fácil para o mais difícil. Isso é você quem determina; 
3) Leia com atenção cada questão e procure entender, de fato, o enunciado do problema; 
4) Trace uma estratégia de resolução e comece a escrever; 
5) Ao chegar à uma conclusão, verifique se a resposta condiz com o enunciado do problema. Às 
vezes, encontramos respostas que são absurdas e que não condizem com a questão; 
6) Só depois de tentar várias vezes, verifique o gabarito; 
Lembre-se: a prática constante previne contra surpresas desagradáveis. Qualquer que seja o 
objetivo, treine bastante, pois assim, a sorte estará do seu lado. 
 
RESUMO TEÓRICO - PONTOS NOTÁVEIS DO TRIÂNGULO 
 
 Bissetriz é a semi-reta que divide um ângulo do triângulo em duas partes iguais. 
 Mediatriz é a reta perpendicular a um lado do triângulo passando pelo seu ponto médio. 
 Mediana é o segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. 
 Altura é o segmento de reta que partindo de um vértice é perpendicular ao lado oposto. 
 
 
 
 
Lista de exercícios para a P8 
Conteúdo: Pontos notáveis do triângulo, quadriláteros e polígonos. 
Prof. Rafa, Prof. Bill, Prof. Marcelo C. e Marcelo L. 
O ponto de encontro das bissetrizes dos ângulos internos do triângulo, denominado de incentro, é 
equidistante dos lados sendo, portanto, o centro da circunferência inscrita no triângulo. 
 
O ponto de encontro das mediatrizes dos lados de um triângulo, denominado de circuncentro, é 
equidistante dos vértices sendo, portanto, o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. 
 
O ponto de encontro das medianas, denominado de baricentro por ser o centro de massa do triângulo, 
está situado a uma distância do vértice igual à 2/3 do comprimento da mediana. 
 
 
As alturas de um triângulo se encontram num ponto denominado de ortocentro. 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS – PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO 
 
 
1- Na figura abaixo determine os segmentos que representam mediana, bissetriz e altura, sabendo que 
BP = PC e BÂN = NÂC. 
 
 
2- Na figura, med  B̂ = 40º, med  Ĉ = 60º. Se D é o incentro do triângulo ABC, então x vale: 
 
a) 40º b) 120º c) 130º d) 150º e) 100º 
 
 
3- Na figura abaixo, AD é bissetriz. Calcule a e b: 
 
 
4- Na figura abaixo, OB é bissetriz de AÔC e OD é bissetriz de CÔE. Calcule x: 
 
 
 
 
 
 
5- Na figura, OM é bissetriz de CÔD e med (AÔB) = 120º. Calcule x e y. 
 
 
6- No triângulo ABC, da figura, AM e CN são medianas que se interceptam em G. Sendo. 
AG = 10 cm e CN = 18 cm calculex, y e z. 
 
 
7- (ESAM) O segmento da perpendicular traçada de um vértice de um triângulo à reta do lado 
oposto é denominada altura. O ponto de intersecção das três retas suportes das alturas do triângulo é 
chamado: 
 
a) Baricentro b) Incentro c) Circuncentro d) Ortocentro e) Mediana 
 
8- (UNITAU) O segmento da perpendicular traçada de um vértice de um triângulo à reta suporte do lado 
oposto é denominado: 
 
a) mediana. b) mediatriz. c) bissetriz. d) altura. e) base. 
 
 
RESUMO TEÓRICO – QUADRILÁTEROS 
 
 Quadrilátero é um polígono com quatro lados. 
 A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360º. 
 Paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos. Alguns deles recebem nomes 
especiais: 
 
a) - Losango tem os quatro lados congruentes. 
b) - Retângulo tem os quatro ângulos retos. 
c) - Quadrado tem os quatro lados congruentes e quatro ângulos retos. 
d) - Trapézio é um quadrilátero que possui apenas dois lados paralelos. Os lados paralelos são chamados de 
bases (maior e menor) e a distância entre as bases chama-se altura. 
 
 Em todo paralelogramo tem-se as seguintes propriedades: 
1. - Lados opostos congruentes 
2. - Ângulos opostos congruentes 
3. - Ângulos consecutivos suplementares (A soma dos ângulos consecutivos vale 180°) 
 
 
 
 
 Os trapézios são classificados como: 
 
1. - Isósceles: os lados não paralelos são congruentes; assim como os ângulos da base maior. 
2. - Retângulo: tem dois ângulos retos; 
3. - Escaleno: os lados não paralelos não são congruentes 
 
 
 
 Perímetro: Soma de todos os lados da figura geométrica 
 
EXERCÍCIOS - QUADRILÁTEROS 
 
1- (MA 092)Classifique cada afirmação em verdadeira (V) ou falsa (F) 
 
a) Todo retângulo é um paralelogramo. 
b) Todo paralelogramo é um retângulo. 
c) Todo quadrado é um retângulo. 
d) Todo paralelogramo é um losango. 
e) Todo quadrado é um losango. 
 
2- Responda: 
 
a)Como se chamam os trapézios que apresentam dois ângulos internos retos?__________ 
 
b)Qual é o trapézio que tem os lados não paralelos congruentes? __________________ 
 
c)Qual o nome do paralelogramo cujas diagonais são perpendiculares entre si, mas não são 
congruentes?_________________________ 
 
3- Um lado de um paralelogramo é o dobro de outro. Determine as medidas dos lados sabendo que o 
perímetro é igual a 108 cm. 
 
4- O perímetro de um quadrilátero mede 41 cm. Quanto mede cada lado se as medidas são representadas 
por x, x + 2, 3x + 1 e 2x -4? 
 
5- Se o comprimento de um retângulo é o triplo de sua largura, calcule o valor do comprimento, sabendo 
que o perímetro vale 48 cm. 
 
6- No paralelogramo ABCD da figura determine as medidas de x e de y. 
 
 
 
7- Dois ângulos opostos de um paralelogramo medem (3x + 25º) e (8x – 10º). Calcule as medidas dos 
ângulos desse paralelogramo. 
 
8- Determine x nos paralelogramos abaixo: 
 
9- Determine a medida dos ângulos indicados. 
 
 
10- Determine a medida das incógnitas indicadas abaixo. 
 
 
 
 
11- Determine a medida dos ângulos indicados. 
 
 
 
12- Determine a medida dos ângulos AGUDOS dos quadriláteros abaixo. 
 
 
 
 
 
RESUMO TEÓRICO - POLÍGONOS 
 
Existem dois critérios: 
 
Primeiro critério: 
 Convexos - uma reta qualquer só corta o polígono em dois pontos. 
 Não convexos - uma reta qualquer pode cortar o polígono em mais de dois pontos. 
Segundo critério: 
 Regulares - os lados e os ângulos são iguais 
 Irregulares- os lados e os ângulos são diferentes 
 
 
 
Ângulos: 
 
Ângulo interno é o ângulo formado por dois lados consecutivos. 
Ângulo externo é o angulo formado pelo prolongamento de um lado e o lado consecutivo. 
 
Soma dos ângulos internos 
Num polígono de n lados podemos traçar de um vértice n - 3 diagonais e assim obteremos n - 2 triângulos. 
A soma dos ângulos internos do polígono será igual à soma dos ângulos interno dos triângulos obtidos ou 
seja >>>180o. (n - 2). 
 
Ângulo interno 
Num polígono regular de n lados um ângulo externo é igual à soma dividida por n, da mesma maneira que 
um ângulo interno é igual à soma dividida por n. 
 
 
 
 
Soma dos ângulos externos. 
 
 
 
Ângulo externo. 
 
 
 
 
 
Diagonal. 
Num polígono de n lados podemos traçar de cada vértice n - 3 diagonais. 
Como temos n vértices poderemos traçar n (n - 3) diagonais, porem desta maneira estamos contando cada 
diagonal 2 vezes, então o número total de diagonais é igual à metade deste valor. 
 
Nomenclatura quanto aos ângulos e lados 
 
 
 
Exercícios – Polígonos 
 
1- Determine a soma das medidas dos ângulos internos e o valor de cada ângulo interno dos seguintes 
polígonos: 
a) quadrilátero regular. b) heptágono regular. c) decágono regular. 
 
2- Determine o número de diagonais dos seguintes polígonos: 
 a) pentágono b) eneágono c) dodecágono 
 
3- Qual dos polígonos abaixo tem a soma das medidas dos ângulos internos igual a 1 260º? 
 
a) octógono d) dodecágono 
b) pentadecágono e) quadrilátero 
c) eneágono 
 
4- Qual o número de diagonais de um octógono. 
 
5- A soma dos ângulos internos de um polígono convexo é de 900°. Calcule o número de diagonais desse 
polígono. 
 
6- Calcular a soma dos ângulos internos e a dos ângulos externos de um decágono.7- Qual é o polígono convexo cujo soma dos ângulos internos é 1800º? 
 
8- A soma dos ângulos internos de um polígono regular de n lados é 2340º. Determinar n. 
 
9- Ache o polígono convexo cuja soma dos ângulos internos é igual a 1080º. 
 
10- Determine qual o polígono regular cujo ângulo interno mede o triplo do ângulo externo. 
 
11- Um polígono regular tem 9 lados. Encontre: 
a) o número de diagonais. 
b) a soma dos ângulos internos 
c) a medida de cada ângulo interno. 
d) A soma dos ângulos externos 
e) A medida de cada ângulo externo. 
 
12- Num polígono regular, um ângulo interno mede 120°. Calcule o número de diagonais desse polígono. 
 
SUGESTÃO DE EXERCÍCIOS PARA A PG 
 
1- O triângulo abaixo representado é isósceles. Nessas condições o valor de x é: 
 
a) 55º 
b) 60º 
c) 65º 
d) 70º 
e) 90º 
 
 
 
2- No triângulo ABC representado abaixo, os segmentos
 
AH e 
AS são, respectivamente, a altura e a bissetriz interna relativas ao 
vértice A. A medida do ângulo HÂS
 
é: 
 
a) 5º 
b) 10º 
c) 15º 
d) 20º 
e) 30º 
 
 
3- No paralelogramo abaixo x e y valem, respectivamente: 
 
 
 
 
 
 
a) 70º e 40º 
b) 70º e 110º 
c) 40º e 70º 
d) 140º e 70º 
e) 140º e 40º 
 
4- As medidas das bases de um trapézio isósceles são 32 cm e 4 cm. Se o perímetro do trapézio é igual a 
126 cm, podemos concluir que os lados não paralelos do trapézio: 
 
a) medem respectivamente 32 cm e 4 cm 
b) medem 22,5 cm 
c) medem 45 cm 
d) medem 12 cm 
e) podem ter infinitas possibilidades de medidas 
 
5- Em um paralelogramo, a medida de um ângulo agudo é 2/3 da medida de um ângulo obtuso. Assim, os 
ângulos desse paralelogramo medem: 
 
a) 72º , 72º , 108º e 108º 
b) 18º , 18º , 162º e 162º 
c) 20º , 20º , 160º e 160º 
d) 30º , 30º , 150º e 150º 
e) 50º , 50º , 130º e 130º 
 
 
6- O icoságono possui: 
a) 30 diagonais 
b) 40 diagonais 
c) 50 diagonais 
d) 90 diagonais 
e) 170 diagonais 
 
7- No triângulo abaixo, AM é mediana relativa ao lado BC. O perímetro do triângulo ABC é: 
 
 
a) 16 cm 
b) 32 cm 
c) 104 cm 
d) 200 cm 
e) 310 cm 
 
8- No triângulo ABC da figura é dado o ângulo B (100°) e o ângulo C (30°). AS é bissetriz e BH é altura. O 
valor de x é: 
 
 
a) 65° 
b) 50° 
c) 25° 
d) 55° 
e) 75° 
 
9- O número de diagonais de um dodecágono é: 
 
a) 108 
b) 54 
c) 36 
d) 30 
e) 24 
 
10- O nome do polígono, cuja soma dos ângulos internos é 2340° é: 
 
a) decágono 
b) dodecágono 
c) undecágono 
d) pentadecágono 
e) icoságono 
 
11- Num triângulo ABC os ângulos internos A e C medem, respectivamente, 80° e 40°. A medida do 
menor ângulo formado pela bissetriz relativa ao ângulo B e a altura relativa ao lado BC, é: 
 
a) 10° 
b) 30° 
c) 45° 
d) 60° 
e) 80° 
 
 
12- Sendo ABCD um retângulo, quais são os valores de x e y na figura abaixo? 
 
 
a) 60° e 30° 
b) 70° e 20° 
c) 80° e 10° 
d) 55° e 35° 
e) 65° e 25°