Interferencia_y_difraccion

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7. Interferencia y difracción 
7-1 
 
7. INTERFERENCIA Y DIFRACCIÓN 
 
Fenómenos de singular importancia que distinguen las ondas de las partículas 
son la interferencia y la difracción. La interferencia es la combinación por 
superposición de dos ó más ondas que se encuentran en un punto del espacio. La 
difracción es la desviación que sufren las ondas alrededor de los bordes y esquinas 
que se produce cuando una porción de un frente de ondas se ve cortado ó 
interrumpido por una barrera ó obstáculo. El esquema de la onda resultante puede 
calcularse considerando cada punto del frente de onda original como una fuente 
puntual de acuerdo con el principio de Huygens y calculando el diagrama de 
interferencia que resulta de todas estas fuentes. 
 
7.1 Condiciones de interferencia 
 
En el capítulo 2, movimiento ondulatorio, analizamos el fenómeno de 
superposición de dos ondas armónicas de igual amplitud y frecuencia pero de 
diferente fase en un punto del espacio llegando a la conclusión de que la onda 
resultante es una onda armónica cuya amplitud depende de la diferencia de fase 
según la ecuación 
 
)
2
1
()
2
1
cos2( 0 δωδξξ +−= tkxsen [7.1] 
 
 Si la diferencia de fase es un número entero de veces 2π, las ondas están en 
fase y la interferencia es constructiva obteniéndose un máximo de amplitud. Si la 
diferencia de fase es un número entero impar de veces π, las ondas están 
desfasadas y la amplitud es un mínimo. Una causa común de diferencia de fase es 
la diferencia en la longitud de camino recorrido por las dos ondas. Otra causa de 
diferencia de fase es el cambio de fase en π que a veces sufre una onda cuando se 
refleja en una superficie límite determinada 
 
 Siempre que se superponen dos ondas electromagnéticas, ondas luminosas, 
se producen fenómenos de interacción; pero para que estos fenómenos 
interferenciales sean permanentes, detectables y utilizables deben cumplirse ciertas 
condiciones: 
 
a) Las ondas que se superponen deben ser coherentes, la diferencia de fase 
entre ellas debe ser constante e independiente del tiempo. Por ejemplo 2 
bocinas próximas excitadas por un generador producen interferencia dado 
que responden de igual forma al amplificador. En cambio, una bombilla es 
una fuente de luz incoherente dado que existen variaciones al azar en la 
fase de la luz emitida. Si δ varía al azar, la intensidad resultante de la 
7. Interferencia y difracción 
7-2 
superposición de 2 bombillas es simplemente la suma de las intensidades 
parciales. Para conseguir fuentes de luz coherentes en general se separan 
dos partes de un mismo frente de ondas (división del frente de ondas) para 
luego superponerlas ó se separa la amplitud de la onda incidente en 
reflejada y refractada (división de amplitudes) para posteriormente 
superponerlas. 
b) Las ondas deben ser monocromáticas y tener la misma longitud de onda. 
Esta condición está asociada a la constancia en la diferencia de fase con 
el tiempo. Dos ondas de diferente frecuencia dan lugar a diferencias de 
fase que dependen del tiempo y por tanto a patrones de interferencia que 
dependen del tiempo con un periodo de variación del orden de la 
frecuencia de la luz y por tanto no detectable 
 
7.2 Diagrama de interferencia de dos rendijas 
 
 Este famoso experimento, ideado por Thomas Young en 1801, demostró la 
naturaleza ondulatoria de la luz. Consideremos dos rendijas de anchura muy 
pequeña, paralelas, separadas una 
distancia d e iluminadas por una sola 
fuente tal y como se muestra en la figura 
7.1. Cada rendija actuará como fuente 
puntual de ondas y además serán fuentes 
de luz coherentes, dado que estos focos 
secundarios son producidos por la onda 
original, dando lugar al fenómeno de 
interferencia observado en una pantalla 
alejada una distancia grande L. Si está 
distancia es grande, las líneas que van 
desde las rendijas hasta un punto P en la 
pantalla serán aproximadamente paralelas 
con lo que la diferencia de camino óptico 
como se observa en la figura 7.1 es 
 
θdsenr =∆ [7.2] 
 
y la diferencia de fase 
 
θ
λ
π
λ
π
δ dsenr
22
=∆= [7.3] 
 
Como vimos anteriormente, para tener 
interferencia constructiva se deberá 
cumplir que 
 
 
Figura 7.1.a) Interferencia de dos rendijas y b) 
construcción geométrica 
 7. Interferencia y difracción 
7-3 
 λθ ndsen = ,..2,1,0=n [7.4] 
 
y si se cumple esta condición observaremos sobre la pantalla un máximo de 
intensidad luminosa denominándose n número de orden interferencial. La 
interferencia destructiva se da para 
 
 
2
)12(
λ
θ += ndsen ,...2,1,0=n [7.5] 
 
y observaremos en la pantalla un mínimo de intensidad. La distancia yn medida 
sobre la pantalla desde el punto central hasta la franja brillante n-esima está 
relacionada con la distancia L según la ecuación 
 
 
L
y
tg n=θ [7.6] 
 
y para ángulos pequeños donde tangente y seno son iguales obtenemos 
 
 
d
L
nyn
λ
= [7.7] 
 
de forma que las franjas brillantes están 
igualmente separadas entre si sobre la 
pantalla. La amplitud de la onda resultante 
viene dada por la ecuación [7.1] con lo que 
la intensidad en el punto P, proporcional al 
cuadrado de la intensidad, es igual a 
 
δ
2
1
cos4 20II = [7.8] 
 
en donde I0 es la intensidad de luz que se 
obtiene en la pantalla para cualquiera de 
las rendijas por separado. La figura 7.2 
muestra el diagrama de intensidades tal y 
como se ve en la pantalla en un 
experimento de interferencia de doble 
rendija. 
 
 
 
 
 
 
Figura 7.2.a) Intensidad y b) diagrama de 
intensidades en pantalla en el experimento de 
Young 
7. Interferencia y difracción 
7-4 
7.3 Diagrama de interferencia de rendijas múltiples 
 
 Consideremos ahora el caso del diagrama de interferencia de N rendijas 
igualmente separadas una distancia d como se ilustra en la figura 7.3. Cada rendija 
es una fuente coherente de ondas 
luminosas al igual que en el caso 
anterior. Para simplificar el análisis 
consideramos de nuevo que observamos 
el movimiento ondulatorio resultante a 
una distancia muy alejada de las fuentes 
de modo que los rayos que interfieren se 
pueden considerar paralelos. Entre rayos 
sucesivos hay un defasaje constante, 
justificado en el apartado anterior, dado 
por 
 
ϑ
λ
π
δ dsen
2
= [7.9] 
 
 
Para obtener la amplitud resultante en la dirección de observación, dada por 
el ángulo θ, en el punto P de la pantalla debemos evaluar la suma de las ondas 
 
 
ostérN
ttttP
min....
)2cos()cos()cos()( 101101101
+
−−+−−+−= δϕωξδϕωξϕωξξ
 [7.10] 
 
 Utilizando los vectores rotantes 
definidos en el capítulo 1, la amplitud 
resultante en el punto P vendrá dada por 
la suma de los N vectores rotantes, cada 
uno de longitud igual ξ01 y desfasados 
sucesivamente δ tal y como se indica en la 
figura 7.4. La suma vectorial da lugar a 
una amplitud resultante igual a 
 
δρξ NsenQPOP
2
1
220 === [7.11] 
 
y del triángulo COR obtenemos 
 
 δρξ
2
1
201 sen= [7.12] 
 
 
Figura 7.3. Interferencia entre rendijas múltiples 
 
Figura 7.4. Amplitud resultante del proceso de 
interferencia como suma de los vectores 
rotantes 
 7. Interferencia y difracción 
7-5 
 Eliminando ρ entre ambas ecuaciones obtenemos 
 
 
δ
δ
ξξ
2
1
2
1
010
sen
Nsen
= [7.13] 
 
 Para N=2 obtenemos )
2
1
cos2( 010 δξξ = de conformidad con los resultados del 
apartado anterior para dos rendijas. La intensidad resultante, proporcional a la 
amplitud al cuadrado vendrá dada por 
 
 
2
0
2
0 /(
)/(
2
1
2
1






=










=
λθπ
λθπ
δ
δ
dsensen
dsenNsen
I
sen
Nsen
II [7.14] 
 
donde I0 es la intensidad de cada fuente por separado. Evaluando la expresión [7.14] 
para diferentes situaciones 
 
1. Se obtiene un máximo de intensidad, máximo principal, para 
 
λθ
πδ
ndsen
n
=
= 2
 0
2INI = [7.15] 
 
recordando la identidad geométrica N
sen
senN
±=
α
αpara α=nπ. La posición de 
estos máximos principales coincide con la del sistema de doble rendija. 
 
2. Se obtiene un mínimo de intensidad para 
 
N
n
dsen
nN
λ
θ
πδ
´
´
2
1
=
=
 0=I [7.16] 
 
donde n´ toma los valores 1 a N-1, N+1 a 2N-1, etc; los valores n´=0, N, 2N,.. 
se excluyen, ya que de lo contrario la ecuación [7.16] se convertiría en la 
[7.15]. Por tanto entre dos máximos principales existen N-1 mínimos y 
además, entre dos mínimos debe haber siempre un máximo, por 
consiguiente, concluimos que también hay N-2 máximos adicionales, entre los 
máximos principales dados por [7.15]. Sus amplitudes son, sin embargo, 
relativamente pequeñas, especialmente si N es grande 
7. Interferencia y difracción 
7-6 
 El gráfico de intensidades en función de δ se muestra en la figura 7.5 para 
N=2,4,8 y muy grande. Vemos que cuando N aumenta el sistema se hace altamente 
direccional, porque el movimiento ondulatorio resultante es importante solo para 
bandas estrechas de valores de δ, o lo que es lo mismo, para bandas estrechas de 
valores del ángulo θ. Este resultado es ampliamente utilizado en las estaciones de 
radiotransmisión ó recepción cuando se desea un efecto direccional. En este caso se 
agrupan varias antenas de tal forma que la intensidad de la radiación emitida (o 
recibida) sea máxima solo para ciertas direcciones dadas por [7.15]. 
 
 
 
Figura 7.5. Diagrama de intensidades en un proceso de interferencia de varias rendijas 
 
7.4 Interferencia en películas delgadas 
 
 Todos hemos observado las bandas coloreadas que aparecen en las pompas 
de jabón ó en las películas aceitosas que suelen cubrir el agua que se encuentra en 
una calle mojada. Estas bandas se deben a la interferencia producida por la luz 
reflejada en las superficies superior e inferior de la película y resultan diferentes 
colores debido a las variaciones que existen en el espesor de la película, que 
producen interferencias para distintas longitudes de onda, en diferentes puntos de la 
misma. Consideremos una película de espesor a y ondas planas incidentes sobre 
ella con un ángulo de incidencia θI, figura 7.6. Parte del rayo AB se refleja según BG 
y se refracta según BC. El rayo BC a su vez, se refleja parcialmente en C según CD 
y se transmite parcialmente según CH. El rayo CD de nuevo se refleja parcialmente 
en D según DK, superponiéndose con el rayo refractado en D del incidente FD. Este 
mismo rayo CD se refracta en D y el rayo refractado se superpone con el reflejado 
 7. Interferencia y difracción 
7-7 
de FD. Análogamente el rayo reflejado BG 
también contiene contribuciones de los 
varios rayos a su izquierda. Por lo tanto 
ocurrirán fenómenos de interferencia a lo 
largo de los rayos reflejados y refractados 
de una forma similar a lo analizado en el 
apartado anterior pero con la importante 
diferencia de que los rayos que interfieren 
no tienen todos la misma intensidad dado 
que en las sucesivas reflexiones y 
refracciones la intensidad va disminuyendo. 
 
No considerando este cambio de intensidad 
calculemos la diferencia de fase entre los 
rayos AB y FD. El defasaje según DE se debe a que los caminos B´D y BCD 
seguidos por los rayos que interfieren son recorridos en diferentes tiempos. De la 
figura 7.6 se deduce que 
 
 iBDsenDB θ=´ ratgBD θ2= [7.17] 
 
 
r
r
ir
ansen
senatgDB
θ
θ
θθ
cos
2
2´
2
== [7.18] 
 
 
r
a
BCD
θcos
2
= [7.19] 
 
 Por tanto los tiempos empleados en recorrer estas distancias por los dos 
rayos serán 
 
 
r
r
r
c
an
v
BCD
t
c
ansen
c
DB
t
θ
θ
θ
cos
2
cos
2´
2
2
1
==
==
 [7.20] 
 
y la diferencia de tiempo es igual a 
 
 
c
an
tt r
θcos2
12 =− [7.21] 
 
 Esta diferencia de tiempo provoca una diferencia de fase dada por 
 
 
Figura 7.6. Proceso de interferencia en una 
película delgada 
7. Interferencia y difracción 
7-8 
 
λ
θπθω
ωδ rr
an
c
an
tt
cos4cos2
)( 12 ==−= [7.22] 
 
 Nos falta por considerar las posibles diferencias de fase introducidas por el 
fenómeno de reflexión. En capítulos pasados estudiamos como si la onda pasa de 
un medio donde su velocidad es mayor a otro donde es menor, la onda reflejada 
muestra una diferencia de fase de π. En el caso que nos ocupa, si n>1 hay un 
cambio de fase de π para el rayo FD cuando se refleja en D, pero no lo hay para el 
rayo BC cuando se refleja en C. De este modo podemos escribir que la diferencia de 
fase es igual a 
 
 π
λ
θπ
δ += r
an cos4
 [7.23] 
 
 Tendremos por tanto interferencia constructiva (δ=2πN, con N entero) y por 
tanto reflexión máxima y transmisión mínima para 
 
 λθ )12(
2
1
cos2 −= Nan r [7.24] 
 
y mediante cálculos similares obtenemos para reflexión mínima (δ=(2N+1)π, con N 
entero) y transmisión máxima 
 
 λθ Nan r =cos2 [7.25] 
 
 Si la película delgada de por ejemplo agua (n≈1,33), estuviese sobre una 
superficie de vidrio (n≈1,5), el rayo que se refleja en la superficie inferior agua-vidrio 
sufriría también un cambio de fase de π. Esto implicaría que el cambio de fase total 
vendría dado por [7.22]. Es interesante notar que el color observado por reflexión no 
es el mismo que el observado por transmisión. Estos están determinados en cada 
caso por las longitudes de onda que satisfacen [7.24] y [7.25]. Además, si el haz 
incidente no es monocromático, las ecuaciones [7.24] y [7.25] dan diferentes valores 
de θr y por lo tanto de θI para cada λ. Esto explica los colores que observamos en las 
películas delgadas de aceite sobre agua. 
 
 7.4.1 Anillos de Newton. Cuando se observa con luz monocromática una 
película delgada de espesor variable se ve por reflexión bandas ó líneas 
alternativamente brillantes y oscuras denominadas franjas. Para el caso de 
incidencia normal, la distancia entre una franja brillante y otra oscura inmediata, es la 
distancia en que la película cambia de espesor de forma tal que la diferencia de 
caminos de la luz es λ/2. La figura 7.7.a ilustra el diagrama de interferencia 
observado cuando se refleja la luz en una película de aire encerrada entre una 
superficie de vidrio esférica y una superficie de vidrio plana en contacto. Estas 
 7. Interferencia y difracción 
7-9 
franjas de interferencia circulares se 
conocen como anillos de Newton. En la 
figura 7.7.b se muestran los típicos rayos 
reflejados en la superficie superior e 
inferior de la película de aire. Cerca del 
punto de contacto de las superficies, en 
donde la diferencia de camino entre el rayo 
reflejado en la superficie superior vidrio-
aire y en la superficie inferior aire-vidrio es 
esencialmente cero, la interferencia es 
destructiva debido al cambio de fase π del 
rayo reflejado en la superficie inferior aire-
vidrio. Por consiguiente la zona central es 
oscura. La primera franja brillante se 
presenta para un radio tal que la diferencia 
de camino es λ/2 que contribuye con una 
diferencia de fase π y por tanto la 
diferencia de fase total es 2π causando 
interferencia constructiva. La segunda 
región oscura se presenta para un radio 
para el que la diferencia de caminos es λ, 
y así sucesivamente. Siguiendo la figura 
7.8, el espesor d de la película de aire en 
un punto P de la lente que corresponde a uno de los anillos de Newton es igual a 
 
 
R
r
d
2
2
= [7.26] 
 
siendo r el radio del anillo y R el radio de la lente. Si en el punto P se observa por 
reflexión una franja luminosa se debe cumplir [7.24] y por tanto 
 
2
)12(2
λ
RNr −= [7.27] 
 
y para la franja oscura 
 
λNRr =2 [7.28] 
 
 La diferencia entre dos anillos, 
luminosos u oscuros, consecutivos será 
igual a 
 
λRrr NN =−+
22
1 [7.29] 
 
Figura 7.7.a) Anillos de Newton formados en la 
interferencia de luz al b) atravesar un vidrio 
esférico apoyado en uno plano 
 
Figura 7.8. Construcción geométrica de los 
anillos de Newton 
7. Interferencia y difracción7-10 
7.4.2 Láminas antirreflectantes. Para evitar la reflexión en superficies ópticas 
de medios transparentes, hecho de vital importancia para aumentar el rendimiento 
de ciertos instrumentos ópticos, se emplean los recubrimientos antirreflectantes. 
Estos recubrimientos se fabrican depositando sobre las superficies ópticas una 
delgada película de material transparente de índice n y espesor d, calculados de tal 
forma que la luz de una determinada 
longitud de onda λ0 no sufra reflexión. 
Supongamos, tal y como se 
esquematiza en la figura 7.9, un vidrio, 
de índice nv, sobre el que tenemos una 
lámina, de índice n<nv y espesor d, con 
coeficientes de reflexión R en la 
interfase aire/lámina y Rv en la interfase 
lámina/vidrio y con coeficientes de 
transmisión T en la interfase aire/lámina 
y T´ en la interfase lámina/aire. Sobre el 
conjunto incide de forma normal a la 
superficie luz que se propaga en el aire, 
de amplitud unidad y de longitud de 
onda λ0, Para que la luz reflejada se 
anule, en cuyo caso toda la incidente pasará a través de la lámina hacia el vidrio, 
bastará que los rayos 2,3,4,… salgan en oposición de fase con el 1, y que la suma 
de amplitudes de 2,3,4,… sea igual a la del 1. Vimos como para el caso 
esquematizado en 7.9 (n<nv , θr=0 y haciendo N=1 para obtener el espesor más 
delgado) la oposición de fase entre 1 y 2 obliga a que el espesor de la lámina sea 
 
n
d
4
0λ= [7.30] 
 
Bastará ahora que la amplitud reflejada sea nula, es decir que la amplitud del 
rayo 1 sea igual a la suma de todos los demás. Esta condición obliga a que 
 
v
vvvv RR
RRRRRRRTTR
−
−=+++=
1
1
)1(.....)1(´ 222 [7.31] 
 
donde se ha hecho uso de que TT´=(1-R2), tal y como se demuestra a partir de las 
ecuaciones [5.48] y [5.49], y del resultado del sumatorio de la serie (1+xn) con x<1. 
De [7.31] resulta la condición R=Rv que junto a [5.48] nos permite obtener la relación 
que debe existir entre índices de refracción para anular la amplitud reflejada 
 
 vnn = [7.32] 
 
 Las ecuaciones [7.30] y [7.32] determinan las características de la lámina 
antirreflectante. Los instrumentos con óptica azul, diseñados para que la reflexión 
sea mínima en el centro del espectro visible, amarillo, presentan un color violáceo al 
reflejarse predominantemente el azul y el rojo. 
 
Figura 7.9 Luz incidiendo sobre un sustrato de 
vidrio con lámina antirreflectante 
 7. Interferencia y difracción 
7-11 
7.5 Condiciones de difracción 
 
 La difracción se observa cuando se distorsiona una onda por un obstáculo 
cuyas dimensiones son comparables a la longitud de onda de aquella. Por la 
experiencia diaria sabemos que las ondas, al contrario que las partículas se 
extienden alrededor de los obstáculos interpuestos en su camino, caso de la luz y el 
sonido. Este efecto se hace más notable cuando las dimensiones de los obstáculos 
se aproximan a la longitud de onda de las ondas. En este apartado estudiaremos la 
difracción producida por ciertas aberturas y pantallas de geometría simple, en dos 
circunstancias especiales. 
 
En la difracción de Fraunhofer suponemos que los rayos incidentes son 
paralelos, frente de ondas plano, y que observamos el patrón de difracción a una 
distancia lo suficientemente grande como para que se reciban únicamente rayos 
difractados paralelos. En la difracción de Fresnel, bien los rayos incidentes se 
originan en una fuente puntual, bien se observan los rayos difractados cerca del 
obstáculo y no pueden ser considerados paralelos. 
 
7.6 Difracción de Fraunhofer por una rendija rectangular 
 
 Consideremos una rendija rectangular estrecha, de anchura b, y larga, de 
modo que podamos ignorar los efectos de los bordes, sobre la que inciden ondas 
normales al plano de la rendija de longitud de onda λ. De acuerdo con el principio de 
Huygens, cuando la onda incide sobre la rendija todos los puntos de su plano se 
convierten en fuentes de ondas secundarias emitiendo nuevas ondas que en este 
caso reciben el nombre de ondas difractadas. Observando las ondas difractadas a 
diferentes ángulos θ respecto a la dirección de incidencia, figura 7.10, encontramos 
que para ciertas direcciones su intensidad es nula. 
 
 
Figura 7.10.a) Rendija rectangular estrecha donde tiene lugar b) la difracción de la onda luminosa 
 
7. Interferencia y difracción 
7-12 
Estas direcciones de intensidad nula están dadas por la relación 
 
 
b
n
sen
nbsen
λ
θ
λθ
=
=
 0≠n [7.33] 
 
 La figura 7.11 se representa el diagrama de difracción de una sola rendija 
observado y la intensidad de las ondas 
difractadas en función del ángulo θ. 
Obsérvese que el máximo central tiene un 
ancho doble del de los demás máximos 
secundarios. Calculemos la distribución de 
intensidades que aparece en la figura 
anterior. Para ello dividimos la rendija en 
bandas muy estrechas de ancho dx, tal y 
como se muestra en la figura 7.12.a y 
cada banda es una fuente secundaria de 
ondas de amplitud dξ0 muy pequeña. Si 
consideramos los rayos emitidos en la 
dirección correspondiente al ángulo θ, 
figura 7.12.b, el defasaje entre el rayo CC´ 
y el AA´ tomado como referencia es 
 
 
λ
θπ
λ
π
δ
xsen
CD
22
== [7.34] 
 
y por lo tanto aumenta gradualmente con x. 
 
 
Figura 7.12.a) Se divide la rendija en bandas estrechas de espesor dx y b) cada banda es una fuente 
secundaria de ondas desfasada con las demás bandas 
 
Figura 7.11 Diagrama de difracción de una sola 
rendija 
 7. Interferencia y difracción 
7-13 
Para obtener la amplitud correspondiente al ángulo θ, debemos representar 
los vectores rotantes correspondientes a las ondas que provienen de todas las 
bandas entre A y B. Como todas son de 
amplitud infinitesimal y como el ángulo de 
fase δ aumenta proporcionalmente a x, los 
vectores yacen sobre un arco de 
circunferencia OP cuyo centro está en C y 
cuyo radio es ρ, figura 7.13. La amplitud 
resultante A es la cuerda OP. La pendiente 
en cualquier punto del arco entre O y P es 
justamente el ángulo δ dado por la 
ecuación [7.34]. En P, que corresponde a 
x=b, la inclinación de la tangente es 
 
λ
θπ
α
bsen2
= [7.35] 
 
 Este es también el ángulo formado por los radios CO y CP. Por consiguiente 
la amplitud resultante es 
 
 )(2
2
1
22
λ
θπ
ραρ
bsen
sensenQPA === [7.36] 
 
 Para observación normal, todos los vectores dξ0 son paralelos y su resultante 
es la suma de sus longitudes, que es igual a la longitud del arco OP. Llamando A0 la 
amplitud resultante para observación normal tenemos 
 
 )
2
(0 λ
θπ
ρρα
bsen
A == [7.37] 
 
y dividiendo ambas ecuaciones llegamos a 
 
 


















=
λ
θπ
λ
θπ
bsen
bsen
sen
AA 0 [7.38] 
 
y como las intensidades son proporcionales a los cuadrados de la amplitudes 
obtenemos 
 
 
Figura 7.13. Suma de vectores rotantes en el 
proceso de difracción en una rendija 
7. Interferencia y difracción 
7-14 
 
2
0


















=
λ
θπ
λ
θπ
bsen
bsen
sen
II [7.39] 
 
 Los ceros de intensidad tienen lugar para bsenθ=nλ de acuerdo con la 
ecuación [7.33]. Para obtener los máximos de intensidad debemos hallar los valores 
de θ que satisfacen que 0/ =θddI resultando el diagrama de difracción mostrado en 
la figura 7.11. 
 
Cuando λ es muy pequeña respecto a b, los primeros ceros de intensidad a 
ambos lados del máximo central corresponden al ángulo 
 
 
b
sen
λ
θθ ±=≈ [7.40] 
 
 Este hecho nos permite definir el poder de resolución de una rendija como el 
ángulo mínimo que subtienden dos ondas incidentes provenientes de dos fuentes 
puntuales distantes S1 y S2 que permita distinguir sus respectivos diagramas de 
difracción. Cuando las ondas provenientes de las dos fuentes pasan a través de la 
misma rendija en dos direcciones que forman un ángulo θ, figura 7.14, los diagramas 
de difracción están superpuestosy se pueden comenzar a distinguir cuando el 
máximo central de uno cae en el primer cero del otro, criterio de resolución de 
Rayleigh, y esto ocurre a partir de un ángulo θc 
 
 
bc
λ
θ = [7.41] 
 
que da el poder de resolución de la rendija, es decir, da la separación angular 
mínima entre dos puntos de un objeto para que se pueden reconocer como 
diferentes al observar el objeto a través de la rendija. 
 
 En caso de que la abertura sea circular, en lugar de una rendija rectangular, 
se obtiene un diagrama de difracción consistente en un disco brillante rodeado de 
anillos alternativamente oscuros y brillantes tal y como se muestra en la figura 7.15. 
Omitiendo el análisis matemático se llega a que el ángulo θ correspondiente al 
primer disco oscuro está dado por la condición 
 
 8317,3
2
=
λ
θπRsen
 [7.42] 
 
ó 
 
 7. Interferencia y difracción 
7-15 
 
DR
sen
λλ
θθ 22,1
2
22,1 ==≈ [7.43] 
 
siendo D=2R el diámetro de la abertura y θ expresado en radianes. Está ecuación da 
a su vez el poder de resolución de una abertura circular. Una lente es en realidad 
una abertura circular, por lo que la imagen de un punto, que se supuso que era otro 
punto en el capítulo 6, es en realidad un diagrama de difracción. Por tanto el poder 
de resolución de un instrumento óptico basado en lentes, por ejemplo microscopios y 
telescopios, vendrá dado por la ecuación [7.43] y lo aumentaremos incrementando el 
diámetro de las lentes ó disminuyendo la longitud de onda empleada. Sin embargo, 
el radio de una lente es en general tan grande respecto a la λ de la luz que en la 
mayoría de los casos se pueden ignorar los efectos de la difracción. 
 
 
Figura 7.14. Poder de resolución de una rendija rectangular siguiendo el criterio de Rayleigh; dos 
objetos con una separación angular θ son distinguibles a partir de que el primer cero del diagrama de 
difracción de uno caiga sobre el máximo central del otro 
 
 
Figura 7.15.Poder de resolución de una apertura circular 
7. Interferencia y difracción 
7-16 
7.7 Difracción de Fraunhofer por dos rendijas paralelas 
 
 Consideremos ahora dos rendijas, ambas de ancho b, separadas una 
distancia a, figura 7.16. 
 
 
Figura 7.16. Difracción de Fraunhofer por dos rendijas paralelas 
 
Para la dirección correspondiente al 
ángulo θ, tenemos ahora dos conjuntos de 
ondas difractadas provenientes de cada 
rendija, es decir tendremos una 
combinación de difracción e interferencia. 
Utilizando la suma de vectores rotatorios, 
figura 7.17, tenemos para la amplitud A1 
resultante de la rendija 1 
 
λ
θπ
λ
θπ
bsen
bsen
sen
AA






= 01 [7.44] 
 
 
 Como las dos rendijas tienen el mismo ancho, la amplitud resultante para la 
rendija 2 tiene el mismo valor A1 pero su fase es diferente. En la figura 7.16 
observamos que entre los rayos correspondientes de las rendijas 1 y 2 hay una 
diferencia de fase constante dada por 
 
 
λ
θπ
λ
π
β
asen
CE
22
== [7.45] 
 
y en consecuencia las amplitudes ó vectores correspondientes de las dos rendijas 
forman un ángulo igual a β. De acuerdo con esto, la línea OQ=A2 correspondiente a 
la rendija 2 se obtiene rotando en un ángulo β la línea OP=A1 correspondiente a la 
rendija 1. La amplitud A resultante de ambas es entonces 
 
Figura 7.17. Suma de vectores rotantes en el 
proceso de difracción 
 7. Interferencia y difracción 
7-17 
 βcos2 21
2
2
2
1 AAAAA ++= [7.46] 
 
y haciendo A1=A2 y utilizando la identidad ββ
2
1
cos2)cos1(2 =+ obtenemos junto a 
las ecuaciones anteriores 
 
 
λ
θπ
λ
θπ
λ
θπ
asen
bsen
bsen
sen
AA cos2 0






= [7.47] 
 
y para la intensidad 
 
 
λ
θπ
λ
θπ
λ
θπ
asen
bsen
bsen
sen
II 2
2
0 cos4


















= [7.48] 
 
 Si comparamos esta ecuación con las obtenidas anteriormente para los 
fenómenos de interferencia y difracción observamos como el diagrama de difracción 
total de dos rendijas es la expresión que describe el diagrama de interferencia de 
dos fuentes modulado por la expresión del diagrama de difracción de una sola 
rendija ta l y como se muestra en la figura 7.18 y en la fotografía 7.19. Nótese que los 
máximos del diagrama de interferencia se dan para a
nsen λθ = mientras que los 
ceros del diagrama de difracción son b
nsen λθ = . Como a>b, los ceros del diagrama 
de difracción están más espaciados que los máximos del diagrama de interferencia. 
En consecuencia, cuando hay dos rendijas, las franjas brillantes son mucho más 
estrechas y están más juntas que las producidas por una sola rendija. 
 
 
Figura 7.18. Diagrama de intensidades en un proceso de interferencia-difracción en doble rendija 
7. Interferencia y difracción 
7-18 
 
Figura 7.19. Intensidad en pantalla en un proceso de interferencia-difracción en doble rendija 
 
7.8 Redes de difracción 
 
 El paso siguiente consiste en considerar el diagrama de difracción producida 
por N rendijas paralelas de igual ancho b y espaciadas regularmente una distancia a, 
sistema conocido como red de difracción y esquematizado en la figura 7.20. 
 
 
Figura 7.20. Vista frontal (a) y en corte de una red de difracción (b) 
 
Por analogía con lo analizado hasta ahora, la distribución de intensidades en 
la dirección θ vendrá dada por la ecuación del diagrama de interferencia producida 
por N fuentes modulada por el diagrama de difracción de una sola rendija 
 
 
22
0










































=
λ
θπ
λ
θπ
λ
θπ
λ
θπ
asen
sen
asenN
sen
bsen
bsen
sen
II [7.49] 
 
 7. Interferencia y difracción 
7-19 
 Si el número N de rendijas es muy grande, el diagrama consistirá en una serie 
de franjas brillantes angostas correspondientes a los máximos principales del 
diagrama de interferencia dados por 
 
 
a
n
sen
λ
θ = ,....2,1,0 ±±=n [7.50] 
 
con una intensidades moduladas por el diagrama de difracción tal y como se 
muestra en la figura 7.21 para el caso de 8 rendijas. Según el valor de n, los 
máximos principales reciben el nombre de 1º, 2º,… orden de difracción. 
 
Se demuestra que la anchura angular de cada franja presente en el diagrama 
de difracción es igual a 
 
ϑ
λ
ϑ
cos
2
2
Nd
d = [7.51] 
 
y por tanto es inversamente proporcional al número de rendijas N. Esto implica que 
cuanto mayor sea el número de rendijas N de la red de difracción, más agudos son 
los máximos de difracción obtenidos y con mayor exactitud se podrá determinar su 
posición. 
 
 
Figura 7.21. Diagrama de interferencia-difracción para 8 rendijas 
 
 Las redes de difracción son muy utilizadas como espectroscopios para 
analizar las longitudes de onda que componen un haz de luz proveniente de un foco 
que pasa a través de una rendija colimadora, figura 7.22. En la dirección θ=0 se 
observará el máximo central correspondiente a todas las longitudes de onda que 
compongan el haz, orden cero. Para diferentes ángulos, cada longitud de onda 
producirá una imagen dada por [7.50], con n=1 para el 1º orden de difracción, 
permitiéndonos conocer el espectro, longitudes de onda, de la radiación incidente. 
 
7. Interferencia y difracción 
7-20 
Una característica importante de un espectroscopio es su capacidad para 
medir longitudes de onda muy próximas. Para ello se define el poder de resolución R 
de una red de difracción como λ
λ
∆=R en donde ∆λ es la diferencia más pequeña 
entre dos longitudes de onda en torno a λ que pueden ser resueltas. Se demuestra 
que el poder de resolución es igual a 
 
 nNR =
∆
=
λ
λ
 [7.52] 
 
siendo n el orden de difracción y N el número de rendijas. Por tanto un aumento del 
número de rendijas incrementa el poder de resolución de una red de difracción. 
Valores entre 10.000 y 20.000 rendijas por cm son habituales en las redes de los 
espectroscopios.Figura 7.22. Espectroscopio basado en una red de difracción 
 
7.9 Difracción de Fresnel 
 
 Cuando el diagrama de difracción se observa cerca de la abertura ú obstáculo 
se denomina difracción de Fresnel. Debido a que los rayos procedentes de la 
abertura no pueden considerarse ya paralelos, este fenómeno es más difícil de 
analizar matemáticamente y nos ceñiremos a aspectos meramente cualitativos del 
mismo. La figura 7.23 ilustra la diferencia existente entre los diagramas de Fresnel y 
de Fraunhofer en el caso de una sola rendija. 
 
En la figura 7.24 se muestran los diagramas de difracción de Fresnel de un 
disco opaco y de una abertura circular iluminados por luz procedente de un foco 
puntual situado sobre sus ejes pudiéndose ver como ambos diagramas son 
complementarios entre si. Obsérvese el punto brillante en el centro del diagrama del 
disco opaco causado por la interferencia constructiva de las ondas luminosas 
difractadas desde el borde del disco. Este hecho, desde el punto de vista 
 7. Interferencia y difracción 
7-21 
corpuscular para la propagación de la luz totalmente contradictorio, sirvió de fuerte 
apoyo para la teoría ondulatoria de la luz. 
 
La figura 7.25 muestra el diagrama de difracción de Fresnel de un borde 
rectilíneo iluminado por luz procedente de un foco puntual y el gráfico de 
intensidades en función de la distancia según una línea perpendicular al borde. La 
intensidad de la luz no cae abruptamente a cero en la sombra geométrica sino que 
disminuye rápidamente y es despreciable al cabo de unas pocas longitudes de onda 
del borde. 
 
Figura 7.23. Paso del diagrama de Fraunhofer al 
de Fresnel al acercar la pantalla 
 
Figura 7.24. Difracción de Fresnel de a) un disco 
opaco y b) una abertura circular 
 
 
Figura 7.25. Difracción de Fresnel de un borde rectilíneo 
7. Interferencia y difracción 
7-22 
Problemas 
 
1. Dos rendijas estrechas distantes entre si 1,5 mm se iluminan con la luz amarilla 
de una lámpara de sodio de 589 nm de longitud de onda. Las franjas de 
interferencia se observan sobre una pantalla situada a 3 m de distancia. Hallar la 
separación de las franjas sobre la pantalla. Repetir los cálculos si la distancia 
entre rendijas es de 0,8 mm, λ=590 nm y la pantalla está a 0,5 m. 
2. Discutir el diagrama de interferencia producido por dos fuentes no coherentes de 
la misma frecuencia. 
3. Con el objetivo de determinar la longitud de onda de una fuente desconocida se 
realiza un experimento de interferencia de Young con una separación entre 
rendijas de 1 mm y la pantalla situada a 1 m. Sobre la pantalla se forman franjas 
brillantes consecutivas que distan 0,546 mm. ¿Cuál es la longitud de onda? 
4. Hallar la distribución angular de intensidad emitida por una batería lineal de 4 
antenas separadas una distancia igual a la mitad de la longitud de onda de 
emisión. 
5. Se utiliza una capa muy fina de un material transparente con un índice de 
refracción n = 1,3 como recubrimiento antirreflectante sobre la superficie de un 
vidrio de índice de refracción n = 1,5. ¿Cuál deberá ser el espesor mínimo de la 
película para que ésta no refleje la luz de 600 nm de longitud de onda (en el aire) 
que incide casi normalmente sobre el sistema? 
6. Las placas solares se suelen recubrir con una delgada película transparente de 
óxido de silicio (n = 1,45) para evitar la reflexión de la luz solar en su superficie. 
Una placa solar de Si (n = 3,5) se cubre con una película de óxido con este fin. 
Determínese, para radiación de longitud de onda λ = 550 nm, el espesor mínimo 
de la película de óxido de manera que los rayos reflejados sufran interferencia 
destructiva. ¿Es el óxido de silicio el material ideal para actuar como 
recubrimiento antirreflectante ó se podría utilizar otro material con mejores 
resultados? 
7. Calcular el espesor de una película de jabón que al ser iluminada por luz natural 
se ve roja por reflexión y verde por transmisión cuando se mira normal a la 
superficie. Tomar como índice de refracción del agua jabonosa n=4/3, longitud de 
onda del rojo λ=667 nm y longitud de onda del verde λ=500 nm. 
8. Obtenemos una película de aire en forma de cuña situando un pequeño trozo de 
papel entre los bordes de dos piezas planas de vidrio. Se hace incidir luz de 500 
nm normalmente a las superficies de vidrio y se observan las franjas de 
interferencia por reflexión. Si el ángulo que forman las dos superficies es de 
θ=3x10-4 rad, ¿cuántas franjas de interferencia se observan por unidad de 
longitud? 
9. Una lente plano-convexa de 2 dioptrías y n=1,5 se sitúa sobre una lámina de 
vidrio plana apoyándola sobre su cara convexa. El conjunto se ilumina por 
encima de la cara plana con luz de 700 nm. Calcular el radio de la séptima 
circunferencia que presenta máximo de interferencia considerando que se 
observa por reflexión. 
 7. Interferencia y difracción 
7-23 
10. Se hace pasar el haz de un láser de 700 nm de longitud de onda a través de una 
rendija vertical de 0,2 mm de ancho que luego incide sobre una pantalla a 6 m de 
distancia. Hallar la anchura del máximo de difracción central sobre la pantalla. 
11. Estimar la magnitud de los máximos sucesivos en el diagrama de difracción de 
una rendija. 
12. Una lente de 2 cm de diámetro tiene una distancia focal de 40 cm. Está iluminada 
con un haz paralelo de luz monocromática de 590 nm. Hallar el radio del disco 
central del patrón de difracción observado en un plano que pasa por el foco y el 
poder de resolución de la lente. 
13. Dos rendijas de anchura a=0,015 mm están separadas por una distancia d=0,06 
mm y se encuentran iluminadas por luz de longitud de onda λ=650 nm. ¿Cuántas 
franjas brillantes se ven en el máximo central de difracción? 
14. ¿Qué separación angular mínima deben tener dos objetos puntuales si han de 
ser resueltos justamente por el ojo?¿A qué distancia mutua deben estar si se 
encuentran alejados ambos 100 m? Suponer que el diámetro de la pupila del ojo 
es 5 mm y que la longitud de onda es de 600 nm 
15. Una red de difracción de 20.000 líneas tiene una longitud de 5 cm. Hallar la 
separación angular de todo el espectro visible, desde 390 nm (violeta) hasta 770 
nm (rojo), para el primero y segundo orden. 
16. Sobre una red de difracción de 12.000 rayas por cm incide luz de una lámpara de 
sodio ¿A qué ángulos se verán las dos líneas amarillas de longitudes de onda de 
589 nm y 589,59 nm en el primer orden? 
17. Consideremos una red de difracción de 20.000 líneas y longitud 4 cm. ¿Es capaz 
esta red de resolver las dos líneas amarillas del sodio dadas en el problema 
anterior? 
18. Demostrar que el poder de resolución de una red de difracción de N rendijas 
viene dado por la ecuación [7.49].