practica 9 Transformaciones lineales

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Matemática 4 – Año 2015
Práctica 9 – Tema 11
Transformaciones lineales. Matriz asociada. Composición. Núcleo e imagen. 
Actividades.
1. Estudie las siguientes transformaciones lineales:
a. Transformación nula: T :V →W ;T ( v⃗ )=0⃗
b. Transformación identidad: T :V →W ;T ( v⃗ )= v⃗
c. Transformación de reflexión: T : R2 → R2 ;T ( x , y )=(− x , y ) [reflexión respecto del eje y]
d. Transformación de rotación: T : R2 → R2 ;Tθ ( x , y )=( xcosθ − y senθ , x senθ+ y cosθ )
[rotación de un ángulo θ alrededor del origen de coordenadas]
e. Transformación de proyección: T : R3 → R3 ;T ( x , y , z )=( x , y ,0 ) [Proyección sobre el plano
XY]
2. Verdadero o falso:
a. Si T es una transformación lineal, entonces T(3x) = 3T(x)
b. Si T es una transformación lineal, entonces T(x+y) = T(x) + T(y)
c. Si T es una transformación lineal, entonces T(x.y) = T(x).T(y)
3. Determine cuáles de las siguientes son transformaciones lineales:
a. T : R2 → R2 ;T ( x , y )=( x ,0 ) 
b. T : R3 → R2 ;T ( x , y , z )=( x , y ) 
c. T : R2 → R2 ;T ( x , y )=(1, y ) 
d. T : R3 → R2 ;T ( x , y , z )=(0, y ) 
e. T : R3 → R2 ;T ( x , y , z )=(1, z ) 
f. T : R2 → R2 ;T ( x , y )=( x2, y2 ) 
g. T : R2 → R2 ;T ( x , y )=( y , x ) 
h. T : R2 → R2 ;T ( x , y )=( x+ y , x− y ) 
i. T : Rn → R❑;T ( x1 , x2, …, xn )=x1+x2+…+ xn 
j. T : R❑→Rn;T ( x )= (x , x , …, x ) 
k. T : R4 → R2;T ( x , y , z ,w )=( x+z , y+w ) 
l. T : R4 → R2;T ( x , y , z , w )=( xz , yw ) 
m. T : R2 → R2 ;T ( x , y )=(− x ,− y ) . Describa geométricamente.
n. T : R2 → R2 ;T ( x , y )=( x −2 y , − x+ y ) 
o. T : R2 → R3 ;T ( x , y )=( x+ y , x− y ,2x+3 y ) 
p. T : R3 → R2 ;T ( x , y , z )=( x− y+z , −2 x+2 y −2 z )
4. Sea T : R2 → R3 ; tal queT (1,0 )=(1,2,3 ) yT (0,1 )=(− 4,0,5 ) . Encuentre T(2,4) y T(-3,7)
5. Encuentre la matriz de rotación cuando:
a. θ=π /6
b. θ=0
c. θ=π /2
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d. θ=π /3
e. θ=π
f. θ=3 π /2
g. θ=2 π
h. ¿Qué le ocurre al vector (-3,4) si se lo rota un ángulo de π /6 en dirección antihoraria?
6. Sea T : R3 → R2 , tal que T(1,0,0)= (2,3); T(0,1,0)=(-1,4); T(0,0,1)= (5,-3). Encuentre:
a. T(3,-4,5)
b. T(0,0,0)
c. T(1,1,1)
d. T(1,2,3)
7. Encuentre Núcleo, Imagen, Nulidad y Rango para:
a. Todas las transformaciones del ejercicio 1
b. Todas las transformaciones del ejercicio 3 que hayan resultado ser lineales
8. Encuentre la matriz asociada de todas las transformaciones lineales de la práctica, respecto de las bases
canónicas respectivas.
9. Dadas las siguientes bases, encuentre las matrices asociadas de las transformaciones lineales de la
práctica (correspondientes a estos espacios vectoriales):
a.Para R2: B1 = {(1,-2); (3,2)}
b.Para R3: B1 = {(1,0,1); (1,1,0); (1,1,1)}
i. Por definición
ii. Usando matrices de cambio de base
10. Entre las transformaciones de esta práctica, elija cuatro pares de transformaciones lineales adecuadas y
proponga la composición de las mismas. Luego, determine la matriz asociada a la composición por
aplicación directa y por producto de matrices.
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