Questão resolvida - Lim (x^2 3x - 10)_(3x^2 - 5x - 2) com x tendendo a 2 - Cálculo I - Universidade Estácio de Sá

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• limx 2→
x + 3x - 10
3x - 5x - 2
2
2
 
Resolução:
 
Primeiro, vamos substituir o limite e analizar o resultado;
 
lim = = = = Indeterminaçãox 2→
x + 3x - 10
3x - 5x - 2
2
2
2 + 3 ⋅ 2 - 10
3 2 - 5 ⋅ 2 - 2
2
( )2
4 + 6 - 10
3 ⋅ 4 - 10 - 2
4 + 6 - 10
12 - 10 - 2
0
0
→
 
Como a indeterminação é zero sobre zero, isso indica que o é raíz da função do 2
numerador e denominador, com isso, vamos fatorar as 2 funções. Para fatorar, temos que 
encontrar as raízes das funções, como conhecemos uma das raízes, a outra pode ser 
descoberta usando a seguinte fórmula;
 
x + x = -1 2
b
a
 Para a função do numerador, temos que;
 
2 + x = - x = - 3 - 2 x = - 52
3
1
→ 2 → 2
 
Já para a função do denominador, fica;
 
2 + x = - x = - - - 2 x = - 2 x = x = x = -2
-5
3
→ 2
5
3
→ 2
5
3
→ 2
5 - 6
3
→ 2
-1
3
→ 2
1
3
 
 
Conhecidas as raízes das equaçaões do 2° grau, temos que a fatoração é "genericamente" 
dada por;
 
ax + bx + c = a x - x x - x2 ( 1)( 2)
 
Dessa forma, para as funções do númerador e denominador temos as seguintes fatorações;
 
x + 3x - 10 = 1 ⋅ x - 2 x - -5 = x - 2 x + 52 ( )( ( )) ( )( )
 
e
 
3x - 5x - 2 = 3 x - 2 x - - = 3 x - 2 x + = 3 x + x - 2 = 3x + x - 22 ( )
1
3
( )
1
3
1
3
( )
3
3
( )
 
= 3x + 1 x - 2 = x - 2 3x + 1( )( ) ( )( )
Com isso, o limite fica;
 
lim = 1x 2→
x + 3x - 10
3x - 5x - 2
2
2
 
 
lim = lim = lim = = =x 2→
x + 3x - 10
3x - 5x - 2
2
2 x 2→
x - 2 x + 5
x - 2 3x + 1
( )( )
( )( )
x 2→
x + 5
3x + 1
2 + 5
3 ⋅ 2 + 1
7
6 + 1
7
7
(Resposta)