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Recta tangente La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función en dicho punto. La recta tangente a una curva en un punto x=a es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a f '(a). Formula y−f(a)=f'(a)⋅(x−a) Procedimientos Sabemos que la ecuación de una recta viene dada por y=m·x+n, siendo: • m la pendiente de la misma • n es la ordenada en el origen, es decir, donde la recta corta al eje y Por tanto, para determinar la ecuación de la recta tangente debemos calcular m y n. Por la definición de recta tangente que hemos dado sabemos que: 1. La pendiente de la recta tangente en x=a coincide con el valor de la derivada en x=a, con lo que m=f'(a) 2. La recta 'toca' a la función en el punto, es decir, pasa por (a,f(a)). Sustituyendo en la ecuación genérica de la recta x por a, e y por f(a), nos queda f(a)=m·a+n Sustituyendo la ecuación de 1 en 2, obtenemos: f(a)=m⋅a+n=⇒==m=f'(a)f(a)=f'(a)⋅a+n⇒n=f(a)−f'(a)⋅a Ya tenemos, por tanto, los valores de m y n que buscábamos. Sustituyendo y reagrupando obtenemos la expresión buscada: y=f'(a) m⋅x+f(a)−f'(a)⋅a n⇒y−f(a)=f'(a)⋅(x−a) Ejemplo Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva: para que dicha tangente sea paralela a la recta de ecuación: En este caso no sabemos ninguna coordenada del punto donde la recta es tangente a la curva, pero nos dan el dato de que debe ser paralela a otra recta, por lo que indirectamente nos están dando la pendiente. Igual que antes, la ecuación de la recta tangente la obtendremos a partir de la ecuación punto-pendiente: Por lo que necesitamos saber las coordenadas del punto y la pendiente: La pendiente la obtenemos a partir de la recta que nos da el enunciado. Vamos a calcular la pendiente de esa recta. Para ello despejamos la «y» y el número que quede delante de la x, será la pendiente: La pendiente de la recta que nos da el enunciado es -3, y como nos dice que es paralela a la recta tangente, la pendiente de la recta tangente también es -3: Ahora vamos a calcular las coordenadas del punto P. Sabemos que la pendiente en cualquier punto de la curva es igual al valor de la derivada en ese punto: Como ya sabemos la pendiente, sólo nos queda calcular la pendiente y obtendremos la coordenada x que cumple que la pendiente de la recta tangente a ese punto sea -3 Calculamos la derivada de la función: La derivada de la función en un punto cualquiera será: La igualamos al valor de la pendiente: Y nos queda una ecuación de primer grado, de la que tenemos que despejar X0, que es la coordenada x del punto que estamos buscando: Para calcular la coordenada «y», obtenemos el valor de la función para x=-1, por lo que sustituimos la x por -1 en la función y operamos: El valor de la función en x=-1 es 0, por lo que la coordenada y=0. Ya tenemos la coordenada del punto y el valor de la pendiente: En la ecuación punto pendiente: Sustituimos la pendiente y las coordenadas del punto por sus valores: Operamos: Y llegamos finalmente a la ecuación de la recta tangente que cumple las condiciones que nos pide el resultado. Vamos a resolver otro ejercicio de este estilo, un poco más complicado. Recta normal a una curva en un punto La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre sí. Así que la opuesta de la inversa de la derivada de la función, nos da también la pendiente de la recta normal. Formula Procedimiento Siguiendo un procedimiento análogo al de la recta tangente tenemos: 1. La pendiente de la recta normal en x=a es m=-1/f'(a) 2. La recta 'toca' a la función en el punto, es decir, pasa por (a,f(a)). Sustituyendo en la ecuación genérica de la recta x por a, e y por f(a), nos queda f(a)=m·a+n Sustituyendo la ecuación de 1 en 2, obtenemos: y=−1f'(a) m⋅x+f(a)−f'(a)⋅a n⇒y−f(a)=−1f'(a)⋅(x−a) Recuerda que si dos rectas son perpendiculares, se cumple que el producto de sus pendientes vale -1: https://www.fisicalab.com/apartado/rectas-perpendiculares m1⊥m2⇒m1⋅m2=−1 Donde: • m1 y m2 son las pendientes de las rectas consideradas Ejemplo Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x² + x + 1 que paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Encuentra también la ecuación de la recta normal en dicho punto. Calcular la ecuación de la tangente y de la normal a la curva en el punto de abscisa: . Queremos la ecuación de la recta tangente y la recta normal a la curva en el punto , y puesto que entonces Por otra parte, la ecuación de la recta tangente es de la forma En nuestro caso y para encontrar la pendiente calculamos la primera derivada de utilizando la regla de la cadena, y entonces Para la recta normal tenemos que entonces Ecuación recta normal: Función creciente Diremos que una función es creciente cuando a medida que crece el valor de la variable independiente crece el valor de la función. Formula La función es creciente si para todo x1< f(x2) Procedimiento 1. Derivar la función, obteniendo f ’(x). 2. Hallar las raíces de la derivada, es decir, los x tales que la derivada sea 0. 3. Crear intervalos abiertos con extremos las raíces de f ’. Por ejemplo, si una función está definida en todos los números reales (es decir, en (-∞,+∞)) y tiene como raíces el 1 y el 3, entonces los intervalos a estudiar serían (-∞,1) , (1,3) y (3,+∞) . 4. Estudiar el signo que toma la derivada en un valor interior de cada intervalo, de manera que: Por ejemplo, si f ’(2)< 0, que es un punto interior de (1,3), entonces la función es decreciente en dicho intervalo. 5. A partir del paso anterior, obtenemos todos los intervalos de crecimiento y decrecimiento. https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funciones/ https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/derivadas/ https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/derivadas/ https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funciones/ https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/derivadas/ https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funciones/ Función decreciente Diremos que una función es decreciente cuando a medida que el valor de la variable independiente aumenta el valor de la función disminuye. Formula La función es decreciente si para todo x1f(x2) Procedimiento 1. Derivar la función, obteniendo f’(x). 2. Hallar las raíces de la derivada, es decir, los x tales que la derivada sea 0. 3. Crear intervalos abiertos con extremos las raíces de f’. Por ejemplo, si una función está definida en todos los números reales (es decir, en (-∞, +∞)) y tiene como raíces el 1 y el 3, entonces los intervalos a estudiar serían (-∞,1), (1,3) y (3, +∞). 4. Estudiar el signo que toma la derivada en un valor interior de cada intervalo, de manera que: https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funciones/ https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/derivadas/ https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/derivadas/ https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funciones/ https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/derivadas/ Por ejemplo, si f’ (2) < 0, que es un punto interior de (1,3), entonces la función es decreciente en dicho intervalo. 5. A partir del paso anterior, obtenemos todos los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Ejemplo Sea la función f definida en los números reales (intervalo (-∞, +∞)): Vamos a estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento que tiene. 1. Derivamos la función, obteniendo f’(x). 2. Hallamos las raíces de la derivada: https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funciones/ https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funciones/https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funciones/ https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/derivadas/ 3. Los intervalos abiertos con extremos las raíces de f’ serán: 4. Estudiamos el signo que toma la derivada en los valores interiores de cada intervalo, por ejemplo, en el -1, el 1 y el 3: 5. Hallamos que: o f es creciente en (-∞,0) y en (2, +∞). o f es decreciente en (0,2). https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/derivadas/ Concavidades y puntos de inflexión. Un punto de inflexión de la gráfica de una función. F es un punto donde la segunda derivada f″ es. Tenemos que esperar un minuto para aclarar el significado geométrico de esto. 0 Una parte de la gráfica de es cóncava hacia arriba si la curva se 'dobla' hacia arriba. Por ejemplo, la parábola popular es cóncava hacia arriba en su totalidad. Fy = x2 Una parte de la gráfica de es cóncava hacia abajo si la curva se 'dobla' hacia abajo. Por ejemplo, una versión 'invertida' de la parábola popular es cóncava hacia abajo en su totalidad. F Formula Procedimiento Sea f una función para el cual se puede calcular f´´ sobre el intervalo (a, b). • Si f´´ (x) > 0 para toda x ∈ (a, b), entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba sobre el intervalo (a, b). • Si f´´ (x) < 0 para toda x ∈ (a, b) entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo sobre el intervalo (a, b). Ejemplo Hallar los puntos de inflexión de 1 Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces. es la única raíz de 2 Realizamos la derivada tercera, y calculamos el valor que toman en ella los ceros de derivada segunda 3 Como es diferente de cero, tenemos un punto de inflexión. 4 Calculamos la imagen del punto de inflexión. La función tiene un punto de inflexión en Velocidad y aceleración y su relación con la expresión de la derivada Se sabe que el cambio de posición con respecto al tiempo representa una magnitud denominada velocidad, que de acuerdo con los conceptos ya vistos de cálculo escribimos como: 𝑣 = 𝑑𝑠 𝑑𝑡 , es decir: la velocidad representa la derivada (cambio) de la posición (s) con respecto al tiempo (t). De manera similar, se denomina “Aceleración” a la variación de la velocidad (v) con respecto al tiempo, por lo que para calcular dicha magnitud se debe derivar la función velocidad. Esto es: 𝑎 = 𝑑𝑣 𝑑𝑡 esto significa que la aceleración es la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo, o bien es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo: 𝑎 = 𝑑2𝑠 𝑑𝑡2 = 𝑑𝑣 𝑑𝑡 Ejemplo un cuerpo se mueve con respecto a la ecuación: f(t) = t3 − 9𝑡2 + 24t siendo “t” en segundos Determine a) la posición y velocidad de dicho cuerpo cuando han transcurrido 5 segundos de tiempo b) la velocidad en t= 6 segundos. c) la aceleración cuando “t” = 4 segundos La solución, primero la expresión permite determinar la posición para cualquier valor de “t” por lo que para t= 5 segundos tenemos: X(t) = t3 − 9t2 + 24t = (5)3 – 9(5)2 + 24(5) = 20 metros Luego para determinar la velocidad, sabemos que la derivada de la posición representa la velocidad, por lo que para “t” = 6 se tiene: primero la derivada es: En este caso la primera derivada es: Df(t) 𝑑𝑡 = 3t2 − 18 t + 24 y por lo tanto la velocidad para “t” = 6 df(t) 𝑑𝑡 = V = 3(6)2 − 18(6) + 24 = 24 m/ seg Ahora la aceleración es el cambio de la velocidad respecto al tiempo por lo que entonces se debe obtener la segunda derivada, es decir: d f 2( t 𝑑𝑡2 ) = a = 6t – 18 = 6(4) − 18 = 6 m/ seg2 Referencias https://www.fisicalab.com/apartado/rectas-tangente-normal https://www.ipn.mx/assets/files/cecyt4/docs/estudiantes/aulas/mescrito/cuarto/matutino/ calculo/1.pdf https://mathinsight- org.translate.goog/inflection_points_concavity_upward_downward_refresher?_x_tr_sl=e n&_x_tr_tl=es&_x_tr_hl=es-419&_x_tr_pto=nui,sc https://repository.uaeh.edu.mx/bitstream/bitstream/handle/123456789/16694/LECT126. pdf?sequence=1&isAllowed=y#:~:text=v%20%3D%20ds%20%2C%20es%20decir%20 %3A,debe%20derivar%20la%20funci%C3%B3n%20velocidad. https://www.fisicalab.com/apartado/rectas-tangente-normal https://www.ipn.mx/assets/files/cecyt4/docs/estudiantes/aulas/mescrito/cuarto/matutino/calculo/1.pdf https://www.ipn.mx/assets/files/cecyt4/docs/estudiantes/aulas/mescrito/cuarto/matutino/calculo/1.pdf https://mathinsight-org.translate.goog/inflection_points_concavity_upward_downward_refresher?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=es&_x_tr_hl=es-419&_x_tr_pto=nui,sc https://mathinsight-org.translate.goog/inflection_points_concavity_upward_downward_refresher?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=es&_x_tr_hl=es-419&_x_tr_pto=nui,sc https://mathinsight-org.translate.goog/inflection_points_concavity_upward_downward_refresher?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=es&_x_tr_hl=es-419&_x_tr_pto=nui,sc https://repository.uaeh.edu.mx/bitstream/bitstream/handle/123456789/16694/LECT126.pdf?sequence=1&isAllowed=y#:~:text=v%20%3D%20ds%20%2C%20es%20decir%20%3A,debe%20derivar%20la%20funci%C3%B3n%20velocidad https://repository.uaeh.edu.mx/bitstream/bitstream/handle/123456789/16694/LECT126.pdf?sequence=1&isAllowed=y#:~:text=v%20%3D%20ds%20%2C%20es%20decir%20%3A,debe%20derivar%20la%20funci%C3%B3n%20velocidad https://repository.uaeh.edu.mx/bitstream/bitstream/handle/123456789/16694/LECT126.pdf?sequence=1&isAllowed=y#:~:text=v%20%3D%20ds%20%2C%20es%20decir%20%3A,debe%20derivar%20la%20funci%C3%B3n%20velocidad
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