MODULO-03 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

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MATEMÁTICA FINANCEIRA
Capitalização Composta
Podemos entender os juros compostos, como sendo o que popularmente chamamos de juros sobre juros, ou cálculo exponencial de juros, ou simplesmente Tabela Price. 
O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e, portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia a dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte. Matematicamente, o cálculo a juros compostos é conhecido por cálculo exponencial de juros.
Observe novamente a demonstração do regime de capitalização composta para uma aplicação financeira de R$ 1.000,00 por um período de 3 meses a uma taxa de 10% ao mês.
MÓDULO 3
Juros compostos
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OS FUNDAMENTOS DAS PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS (PG) 
COMO BASE CIENTÍFICA PARA O CÁLCULO DO VALOR FUTURO (FV) A JUROS COMPOSTOS
No Capítulo 2, definimos uma Progressão Geométrica (PG) como sendo uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante. Essa constante é chamada razão da progressão geométrica. 
Vejamos uma PG de 12 termos com razão igual a 2:
PG (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048,...)
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Quadro evolutivo de uma progressão geométrica (PG)
1	x	2	=	2	
2	x	2	=	4	
4	x	2	=	8	
8	x	2	=	16	
16	x	2	=	32	
32	x	2	=	64	
64	x	2	=	128	
128	x	2	=	256	
256	x	2	=	512	
512	x	2	=	1024	
1024	x	2	=	2048	
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Quando associamos um cálculo exponencial a uma Progressão Geométrica (PG), temos:
211 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2048
Para fazer o mesmo cálculo com base no conceito de uma Progressão Geométrica (PG), devemos encontrar uma expressão para obtermos o termo geral de uma PG conhecendo apenas o primeiro termo (a1) e a razão (q). A letra q foi escolhida por ser inicial da palavra quociente. 
Vamos entender:
Seja (a1, a2, a3, ... , an) uma PG de razão (q), temos:
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Seguindo, chegaremos ao termo an, que ocupa a n-ésima posição da PG, podendo ser representada pela seguinte fórmula:
Fórmula Geral do Termo de uma Progressão Geométrica (PG):
Onde: an = n-ésimo termo ou termo a ser calculado; a1 = primeiro termo e q = razão ou quociente.
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VALOR FUTURO (FV) OU MONTANTE (M)
Para encontrarmos o valor futuro (FV) ou montante (M) de uma operação comercial ou financeira, vamos considerar um valor presente (PV), uma taxa (i) e calcular o valor futuro (FV) obtido a juros compostos, após (n) períodos.
Valor futuro após o período 1:
 FV1 = PV + PV × i = PV (1 + i )
Valor futuro após o período 2:
 FV2 = FV1 + FV1 × i = PV (1 + i ) (1 + i ) = PV (1 + i )2
Valor futuro após o período 3:
 FV3 = FV2 + FV2 × i = FV2 (1 + i ) = PV (1 + i )2(1 + i ) = PV (1 + i )3
Valor futuro após o período n:
 Para um período n é possível perceber que: FVn = PV (1 + i )n
Assim, teremos:
Fórmula no 11
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EXEMPLO Calcular o montante de um capital de R$ 5.000,00, aplicado à taxa de 4% ao mês, durante 5 meses.
Dados:
FV = ?
PV = R$ 5.000,00
i = 4% a.m.
n = 5 meses
Observação:
Nas calculadoras financeiras, é possível calcular diretamente qualquer uma das variáveis da fórmula FV = PV (1 + i)n. Para tanto, é preciso que sejam conhecidas três das variáveis a fim de que seja calculada a quarta variável.
Na calculadora HP-12C, por exemplo, temos as seguintes teclas para cálculo de juros compostos:
	(do inglês Present Value) representa o capital
	(do inglês Future Value) representa o montante
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Vejamos a solução pela calculadora financeira modelo HP-12C:
Observação:
Quando utilizamos a função [f] [FIN], apagamos somente os registros das memórias financeiras da HP-12C, enquanto a função [f] [REG] apaga todos os registros armazenados nas me­mórias da calculadora.
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DIFERENÇA ENTRE JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS
Como já observamos no Capítulo 1, no item 1.11 (Regimes de Capitalização), a metodologia de cálculo pode ser linear ou exponencial. Vejamos então a demonstração dessas duas metodologias:
EXEMPLO Calcular o montante de um capital de R$ 50.000,00, aplicado à taxa de 15% ao mês, para 29 dias, 30 dias e 31 dias, pelos regimes de juros simples e juros compostos.
Dados:
PV = R$ 50.000,00
i = 15% a.m.
n = 29 dias; 30 dias e 31 dias
FV (juros simples) = ?
FV (juros compostos) = ?
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Observações:
Algumas observações e conclusões podem ser feitas sobre os Regimes de Capitalização.
1) Quando o período (prazo) for inferior ao tempo da taxa, será mais vantajoso utilizar o regime de capitalização simples.
2) Quando o período (prazo) for superior ao tempo da taxa, será mais vantajoso utilizar o regime de capitalização composto.
3) Quando o período (prazo) for igual ao tempo da taxa, os dois regimes de capitalização apresentarão o mesmo resultado.
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FUNÇÃO “C” NA HP-12C E AS TECLAS E 
Com a sequência de teclas aparecerá no visor da calculadora HP-12C a letra “C”. Se a letra “C” não estiver aparecendo no visor, a HP-12C fará os cálculos levando em consideração os dois regimes de capitalização. Na verdade, o objetivo é utilizar o regime de capitalização simples (convenção linear) para os períodos inferiores ao tempo da taxa; e para os períodos inteiros iguais ou superiores ao tempo da taxa será utilizado o regime de capitalização composta.
Vamos comprovar:
EXEMPLO Calcular o valor futuro de uma aplicação de R$ 1.450.300,00, à taxa de 15% ao ano, durante 3,5 anos.
Dados:
PV = R$ 1.450.300,00
i = 15% a.a.
n = 3,5 anos
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Observe que existe uma diferença de R$ 5.777,83. Vejamos por quê:
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VALOR PRESENTE (PV) OU CAPITAL (C)
A fórmula do valor presente (PV) pode ser facilmente obtida a partir da fórmula do valor futuro (FV), basta isolar a variável (PV) e dividir o valor futuro (FV) pelo coeficiente do (PV), ou seja, (1 + i)n.
Sendo assim, teremos:
Fórmula no 12
			
EXEMPLO No fim de 2 anos, o Sr. Misterioso da Silva deverá efetuar um pagamento de R$ 2.000,00, referente ao valor de um empréstimo contratado na data de hoje, mais os juros devidos, correspondentes a uma taxa de 4% ao mês. Pergunta-se: qual é o valor emprestado?
Dados:
FV = R$ 2.000,00
i = 4% a.m.
n = 24 meses
PV = ?
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Podemos também encontrar um fator de multiplicação, substituindo o valor futuro (FV) por “1”.
Veja mais soluções no livro, na página 68
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PRAZO (N)
O cálculo do prazo pelo regime de capitalização composta não é possível por meio de uma fórmula simples, como vimos no regime de capitalização simples; nesse caso, é necessário calcular por meio de logaritmo. A calculadora HP-12C possui, em azul, a função (LN), que significa logaritmo neperiano.
Para o cálculo do prazo (n), apresentaremos duas fórmulas:
Fórmula no 13
			
ou
Fórmula no 14
			
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EXEMPLO Em que prazo um empréstimo de R$ 24.278,43 pode ser liquidado em um único pagamento de R$ 41.524,33, sabendo-se que a taxa contratada é de 3% ao mês?
Dados:
n = ?
PV = R$ 24.278,43
FV = R$ 41.524,33
i = 3% a.m.
Veja mais soluções no livro, página 70
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Cálculo da Taxa (I)
Para calcularmos a taxa de juros em uma operação de juros compostos, é necessário conhecer o valor futuro (FV), o valor presente (PV) e o período da operação financeira.
Porém, para que não haja dúvida no cálculo da taxa, quando o prazo da operação não coincidir com o prazo da taxa solicitada, aconselhamos o leitor a usar sempre o prazo em dias, em todas as situações. Para tanto, apresentamos a fórmula da taxa de juros compostos a seguir:
Fórmula no 15
			
Em que:
QQ = quanto eu quero (o prazo da taxa a ser calculada);
QT = quantoeu tenho (o prazo da operação que foi informado).
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EXEMPLO A loja “Arrisca Tudo” financia a venda de uma máquina no valor de R$ 10.210,72, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 14.520,68 no fim de 276 dias. Qual é a taxa mensal cobrada pela loja?
Dados:
i = ?
PV = R$ 10.210,72
FV = R$ 14.520,68
n = 276 dias
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Nessa solução, não foi necessário multiplicar a taxa por 100, uma vez que a célula B2 está formatada para porcentagem.
CÁLCULO DOS JUROS COMPOSTOS
Como já foi demonstrado no Capítulo 1, o juro simples é calculado por meio da fórmula J = PV × i × n. Nesse caso, para acharmos os juros de uma aplicação de R$ 1.000,00 para um período de 5 meses com uma taxa de 10% ao mês, basta efetuarmos uma operação simples de multiplicação:
J = 1.000 × 0,10 × 5 = R$ 500,00
No caso dos juros compostos, a fórmula é a seguinte:
Fórmula no 16
			
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EXEMPLO Calcular os juros de um capital de R$ 1.000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa de 10% ao mês.
Dados:
PV = R$ 1.000,00
i = 10% a.m.
n = 5 meses
J = ?
Veja mais soluções no livro, página 75
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JUROS COMPOSTOS PARA PERÍODOS NÃO INTEIROS
As operações de juros compostos para períodos não inteiros podem ser facilitadas se adotarmos a convenção do prazo para dias. Vejamos a seguir:
1 ano exato = 365 ou 366 dias;
1 ano = 360 dias;
1 semestre = 180 dias;
1 trimestre = 90 dias;
1 mês comercial = 30 dias;
1 mês exato = 28, 29, 30 ou 31 dias;
1 quinzena = 15 dias.
Quando depararmos com esse tipo de situação, devemos considerar o prazo
  
Sendo assim, teremos a seguinte fórmula de valor futuro (FV):
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EXEMPLO Determinar o montante de uma aplicação de R$ 13.500,00, negociada a uma taxa de 25% ao ano, para um período de 92 dias pelo regime de juros compostos.
Dados:
PV = R$ 13.500,00
i = 25% a.a.
n = 92 dias
FV = ?
Nesse caso, podemos observar que a taxa está ao ano e o prazo está em dias.
As perguntas que se fazem neste momento são as seguintes:
Qual é o prazo que eu quero?
Resposta: Quero o prazo de 92 dias, ou seja, quero achar o montante para 92 dias.
Qual é o prazo que eu tenho?
Resposta: Tenho 360 dias. Tenho uma taxa para um ano.
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Veja mais soluções no livro, página 77,78
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EXERCÍCIOS SOBRE JUROS COMPOSTOS
1) 	Calcular o valor futuro ou montante de uma aplicação financeira de R$ 15.000,00,	admitindo-se uma taxa de 2,5% ao mês para um período de 17 meses.
 	Resposta: R$ 22.824,27.
2)	Calcular o valor presente ou capital de uma aplicação de R$ 98.562,25, efetuada pelo prazo 	de 6 meses a uma taxa de 1,85% ao mês.
	Resposta: R$ 88.296,69.
3)	Quanto tempo foi necessário para uma aplicação de R$ 26.564,85 produzir um 	montante de 
	R$ 45.562,45 com uma taxa de 0,98% ao mês?
	Resposta: 55 meses e 10 dias.
4)	Qual é a taxa mensal de juros necessária para um capital de R$ 2.500,00 produzir um 	montante de R$ 4.489,64 durante um ano?
	Resposta: 5% ao mês.
5)	Determinar os juros obtidos por uma aplicação de R$ 580,22 com uma taxa de 4,5% durante 	7 meses.
	Resposta: R$ 209,38.
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6)	Um investidor resgatou a importância de R$ 255.000,00 nos bancos Alfa e Beta. Sabe-se que 	ele resgatou 38,55% no banco Alfa e o restante no banco Beta, com as taxas de 8% e 6%, 	respectivamente. O prazo de ambas as aplicações foi de 1 mês. Quais foram os valores 	aplicados nos bancos Alfa e Beta?
	Resposta: R$ 91.020,83 e R$ 147.827,83.
7)	Determinar o valor de um investimento que foi realizado pelo regime de juros compostos, 	com 	uma taxa de 2,8% ao mês, produzindo um montante de R$ 2.500,00 ao fim de 25 meses.
	Resposta: R$ 1.253,46.
8)	Quanto tempo será necessário para triplicar um capital de R$ 56,28 com a taxa de 3% ao mês?
	Resposta: 37 meses e 6 dias.
9)	Um investidor possui a importância de R$ 95.532,00 para comprar um imóvel à vista. Esse 	imóvel também está sendo oferecido com 35% de entrada, R$ 32.300,00 para 90 dias e R$ 	38.850,55 para 180 dias. Sabe-se que esse investidor possui uma possibilidade de investir 	seu 	capital à taxa de 3% ao mês. Determine a melhor opção para o investidor.
	Resposta: Esses capitais são equivalentes.
10) 	A concessionária Topa Tudo S/A está oferecendo um automóvel por R$ 14.500,00 à vista ou 	R$ 4.832,85 de entrada e mais uma parcela de R$ 11.000,00, no fim de 5 meses. Sabendo-se 	que outra opção seria aplicar esse capital à taxa de 3,5% no mercado financeiro, determinar a 	melhor opção para um interessado, que possua recursos disponíveis, comprá-lo pelo método 	do valor presente e pelo método do valor futuro.
	Resposta: valor futuro (FV): R$ 11.481,54; valor presente (PV): R$ 14.094,55.
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11) 	Qual é o valor do investimento que, aplicado à taxa de 12% ao trimestre, durante 218 dias, produziu 	um resgate de R$ 125.563,25?
	Resposta: R$ 95.421,35.
12)	Qual é a taxa de juros necessária para dobrar um capital no fim de 15 meses?
	Resposta: 4,73% ao mês.
13)	Qual é o valor futuro de um investimento de R$ 10.000,00, aplicado a uma taxa de 18,5% ao ano 	pelo período de 95 dias?
	Resposta: R$ 10.458,12.
14)	Paulo deseja antecipar uma dívida no valor de R$ 890,28 com o vencimento de hoje a 75 dias com 	taxa de 9% ao trimestre. Determinar o valor a ser liquidado na data de hoje.
	Resposta: R$ 828,59.
15)	Qual é a taxa trimestral, mensal e anual de juros de uma aplicação de R$ 5.000,00 que deverá ser 	resgatada ao término de 2 anos e 62 dias pelo valor de R$ 8.000,00?
	Resposta: 5,55% a.t.; 1,82% a.m. e 24,16% a.a.
16) 	Qual é o montante de uma aplicação de R$ 56.750,25 aplicada em 05/03/01 e resgatada em 28/02/02, com 	taxa de 14,75% ao trimestre?
	Resposta: R$ 98.396,25.
17)	Um título está sendo quitado 23 dias antes do seu vencimento. Sabendo-se que o valor de resgate era de 	R$ 58,26, qual será o valor pago pelo devedor, adotando-se o regime de juros compostos, se a taxa de 	juros negociada foi 5% ao mês?
	Resposta: R$ 56,12.
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18)	Considere uma operação de capital de giro no valor de R$ 35.000,00 contratada para pagamento em 	105 dias da data de liberação dos recursos, negociada a uma taxa de 2,7% ao mês (correção). Qual 	seria o valor devolvido ao banco se a empresa atrasasse em 15 dias o pagamento da dívida, sabendo 	que o banco cobra 5% ao mês em casos de atraso? Qual seria a taxa de juros acumulada em todo o 	período da operação?
	Resposta: R$ 39.369,44; 12,48% ao período de 120 dias.
19)	Suponha que uma pessoa acumulou 35,8% de rendimento de determinada aplicação financeira, 	durante 315 dias. Determinar a taxa mensal e anual dessa operação.
	Resposta: 2,96% a.m. e 41,87% a.a.
20)	Quantos dias serão necessários para triplicar uma aplicação financeira aplicada a juros compostos 	de 6% ao ano?
	Resposta: 6.788 dias.
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