Fracoes sem Mistérios - A Descoberta da Matemática

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s assuntos 
importantes da 
Matematica - de 5? 
a 8? serie - sao 
desenvolvidos nos 
\ivros da serie A 
descoberta da 
Matematica, uma proposta 
inovadora de ensino, nascida de 
uma \onga experiencia em sala 
de aula. 
Atraves de hist6rias \eves e 
agradaveis, os conteudos 
matematicos vao sendo 
abordados de forma concreta, 
com explicaG6es \6gicas e 
claras, que respei~am o nivel do 
a\uno e procuram atender as 
necessidades do professor. 
0 prazer da leitura, somado 
ao rigor dos conceitos vistos, 
taz de cada texto desta serie 
um va\ioso complemento ao 
\ivro didatico. 
I ISBN 85 08 o289o 3} 
Luzia Faraco Ramos 
'! 
•·. 11~11 . . 
~ ~ ~ -~ - - ~ - ~ -~--~-
Luzia Faraco Ramos 
Professora de Matematica e Assessora para 
o en sino de Mate matico no pre-escola e no 1? grau 
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TEXTO 
editor: 
Fernando Paixao 
assistente editorial: 
Carmen Lucia Campos 
preparac;:ao de originais: 
Jose Roberto Miney: 
suplemento de avaliac;:ao: 
· Luzia Faraco Ramos 
ARTE 
projeto grafico e 
edic;:ao de arte: 
Pau lo Cesar Pere ira 
ilustrac;:oes infernos: 
C laudson Rocha 
diagramac;:ao e 
arte-final: 
Pau lo Cesar Pereira 
manuscritos: 
PVM 
A elaborac;:ao desta serie ter ia sido impossfvel 
sem um verdadeiro espfri to de equipe. 
Alem da dedicac;:ao da Autora, Luzia Faraco Ramos, 
este p rojeto contou com o inestimavel traba lho 
do escritor Luiz Ga ld ino. Tiveram ainda partic ipac;:ao 
importa nte nesse volume, atraves de leituras crfticas e 
sugestoes, os segu intes professores de Matematica: 
Marcia Anaf 
Milton Anton io Muniz 
Rosano Aparecida Fioretto Marotti 
Vincenzo Bong iovann i 
ISBN 85 08 028 90 3 
1988 
Todos os direitos reservados pela Editora Atica S.A. 
R. Barlio de lguape, 110- Tel.: PABX 278-9322 
C. Postal 8656 - End. Telegnifico "Bomli~r6" - S. Paulo 
~ 
7 1 
Volta as aulas I 
00 
pesar de inuito cedo, o sol prometia urn dia de 
veriio. A margem da estrada, o casal de jovens 
divertia-se, a:tirando pedras nas aguas baixas do 
a<;:ude. 
- Alice ... Voce ja reparou como o nivel do 
a<;:ude esta baixo? 
A jovem nissei parou urn instante com as pedras, ob-
servou sem pressa, e comentou: 
- Meu pai esta com medo que nao chova. E se. nao ti-
ver como irrigar as planta<;:6es, vai perder tudo. 
- Por falar em perder ... Se o Beto e a Tais demora-
rem muito, acabarao perdendo a carona ... 
- Ainda e cedo, Lino. N6s e que chegamos adiantados. 
0 garoto ouviu a explica<;:ao e propos com ar matreiro: 
- Ganha urn doce 1 se adivinhar por que eles ainda nao 
desceram ... 
Alice riu com tanta descontra<;:ao, que seus olhinhos 
amendoados se fecharam. Antes, porem, que pudesse dizer 
algo, os dois irmaos apontaram entre as arvores que circun-
davam a bela casa da colina. 
- La _vern eles _:_ apontou Alice. 
-Ate que enfim! 
A garota observou o olhar quase aflito de Lino e cen-
surou em tom de brincadeira: 
- Sosseg,a, Lino! Logo a Tais estara aqui. 
Ele desviou o olhar por urn segundo apenas e tornou 
ao caminho, por onde a Tais e o Beto se aproximavam. 
- Oi, Alice ... Oi, Lino ... Tudo em ordem?- cumpri-
mentou Beto. 
- Tudo bern, Beto? E voce, Tais - respondeu Alice. 
Lino respondera com urn gesto de mao, os olhos pre-
sos na garota que ficara para tras. Sem pressa nenhuma, Tais 
tratava de ajeitar o material escolar na mochila. 
- E ai, Lino ... Parece que esta fora de sintonia .... -
cobrou Beto. 
- Ah, tudo bern. Acho que ainda nao acordei direito. 
E Alice juntou, num tom que deixava margem a dupla 
interpreta<;:ao: 
- Ele esta sintonizado em outra faixa ... Alias, estava 
muito preocupado com o atraso de voces. 
- Posso imaginar -:- piscou Beto, com cumplicidade 
- Adivinhe quem foi a causa? 
- Nao corriece! - rebeloo.-se a irma, encaixando 'a mo-
chila no ombro. - Eu, hoje, nao estou muito pra papo, nao! 
< 
J\ntevendo o mau humor da amiga, Lino tentou a di-
plo tnacia: 
- Nota dez pra voce, Tais ... 
- Nota dez por que? - indagou ela. 
Encabulado, ele se atrapalhou urn pouco, mas conse-
guiu dizer: 
-Ora ... Sei l<i ... Voce esta demais, hoje ... 
- Ah ... - reagiu ela com afetac;ao. - Obrigada. 
Beto ignorou o dialogo; levantou a vista para o ceu e 
comentou: 
- Nota dez para a Tais e nota zero para esse sol ... 
- Essa nao! - discordou a irma. - 0 que e que voce 
tern contra o sol, hein? 
-Bern .. . Ate que gosto de urn solzinho, mas esse tem-
po esta exagerando. Se nao chover logo, os plantadores te-
rao problemas ... 
- E verdade . Meus pais estao preocupados - apoiou 
Alice. 
- M·uito bern . .. Que tal a gente comec;ar uma danc;a 
da chuva? - ironizou Tais. 
Antes que alguem acrescentasse a lgo, Beto desculpou-
se pela irma : 
- Nao reparem. A Tais deve ter se levantado com o 
pe esquerdo. 
- E o Samuel? Sera que ele deixou a gente na mao? 
- interrogou ela, sem dar ouvido ao que o irmao dizia. 
- Nao e possfvel- interveio Lino. - N6s estamos aqui 
ha quase meia hora . 
. Mal terminara de falar, quando Alice apontou para a 
estrada. 
- Salvo engano, aquele e o superfusca do Samuel. 
- E ele mesmo- confirmou Beto. - Nao ha nada pa-
recido pelas redondezas. 
Assim que o veiculo parou, Samuel desceu, distribuin-
do risos, beijos e abrac;os. 
- Tudo em cima? Prontos para a volta as aulas? 
- Tudo em cima, Samuel! Pelo jeito, andou pegando 
.uma bela praia, hein? ... - comentou Tais. 
- Puxa, estava demais! Mas pelo que estou vendo, sol 
e 0 que nao faltou por aqui. .. 
Lino chamou a atenc;ao do professor para o a<;ude: 
- Olha l<i, Samuel... 0 a<;ude, que tern cinqiienta me-
tros de profundidade, esta com agua na marca dos dez. 
- E ... A situac;ao parece grave - concordou ele . -
E entao? Vamos? 
T 
·----- -8 
Assim que ele abriu a porta do carro, Alice percebeu 
varios cartoes coloridos e algumas pe<;as de encaixe dentro 
de uma sacola. 
- 0 que e isso, Samuel? E para mandar bilhetinhos co-
loridos aos pais dos alunos? 
- E eu sou de mandar bilhetinho, Alice? - brincou 
ele. -Esse material nos ajudara a fazer importantes desco-
bertas. 
- Descobertas? Ja estou morrendo de curiosidade! 
- Curiosidade nao mata; pelo contrario, ensina! -
acrescentou o professor, com ar divertido. - E vamos em-
bora, ou chegaremos atrasados. 
Co01 quantas &a~Oest____..,.---­
se faz 001 inteiro 
inicio da aula foi urn tanto conturbado. Muitos 
queriam ouvir as aventuras de Samuel durante as 
ferias e, tambem, relatar as pr6prias. Mas, en-
fim, o professor conseguiu. 0 Fazendo algum suspense, Samuel retirou al-
gumas pe<;as da sacola que Alice vira no carro e 
comec;ou a encaixa-las umas nas outras, formando uma bar-
ra de quatro pe<;as, das quais tres eram .listadas . 
- 0 que e que eu tenho nas maos? - perguntou, fi-
nalmente, diante da classe muito curiosa. 
- Uma barra formada de quatro pe<;as - identificou 
1 uliana. - E tres dessas pec;as sao listadas . 
- 6timo - concordou Samuel, repetindo: - Temos 
uma barra composta de quatro pec;as, das quais tres sao lis-
tadas. E estas pe<;as, sao todas iguais? 
- Sao - confirmou Guilherme. - Eu tenho urn jogo 
de montar igualzinho a esse . 
- Muito bern .. . 
E Samuel se p6s a preparar uma nova barra, que mos-
trou em seguida a classe, interrogando: 
- E agora? Quantas partes eu tenho nesta barra e quan-
tas sao listadas? 
- Cinco partes, sendo duas listadas - respondeu Tais. 
- Muito bern. A partir desses dois exemplos, eu posso 
considerar cada uma das barras coRlo algo inteiro? 
-Claro que pode! - afirmou Lino. - Sao como OS 
chocolates que trouxe de lanche: uma barra maior e outra 
menor, no entanto, as duas estao inteiras. 
- E a barra maior e para a Tais! - gritou alguem no 
·t:undo da sala. 
. Lino virou-se, ten tan do localizar o engra<;adinho, mas 
Samuel nao deu tempo para discuss6es. 
- Excelente exemplo, Lino! Com isso, estamos pron-
tos para iniciar nossos estudossobre fra<;6es . 
- Fra<;6es? 
- Que sao fra<;6es? - interrogou Marcelao. 
Tais virou-se criticando: 
- Poxa, Marcelao . .. E isso que Samuel vai explicar. 
0 professor esperou pelo siH!ncio e prosseguiu: 
- Observando os exemplos que eu dei, voces devem ter 
notado que os inteiros considerados sao diferentes, mas apre-
sentam uma caracteristica co mum ... 
. -.Nos dois exemplos ha partes listadas - observou Be-
to. - E isso, Samuel? , · 
- Exatamente! Vejamos, agora, como e possivel 
representa-las ... 
Propos e escreveu na lousa: 
tre~ tni 1uatro 
~aD li1.taiiM 
cllUAI\.. em cinco 
M£>h~~ 
-.,.. E o que is so tern a ver com a Matematica? - per-
guntou · J.uliana. 
- E que existe - explicou Samuel - uma forma ma-
tematica para n!presentar essas partes consideradas do intei-
ro. No primeiro exemplo temos tres partes listadas em qua-
tro, mas tambem podemos dizer que tres quartos sao lista-
r o 
I 
dos, e, no segundo exemplo, as duas partes listadas em cinco 
podem ser representadas por dais quintos. 
E foi substituindo pela nova forma: 
-
~D 
t~€4 qw.trto~ 
MO lL1tado1-
1~1111 
doih- qu.itt~ 
~do li~tado~ 
- Quer dizer, em linguagem matematica, frariio e es-
sa forma de representar as partes consideradas de cada urn 
dos inteiros. Eta c escrita utilizando urn par de numeros: urn 
deles, o denominador, vai indicar em quantas partes iguais 
o inteiro foi dividido, e o outro, o numerador, ira indicar 
a quantidade dessas partes a serem consideradas. E o deno-
minador e o numcrador sao os termos de fra<;:ao . 
1~[- 1 
tr~ qwu-i~ 
OtL 
3 -numerador 
4- denominador 
I- 11-1 
~ ~IA.iKt01t 
OtA, 
2 ---- numerador 
5- cienomLttad.or 
0 professor se preparava para dar seqi.H!ncia a aula, 
quando Guilherme interrompeu: 
- Se n6s tivessemos apenas uma parte listada, no pri-
meiro exemplo, como a representariamos? 
Samuel foi ao quadro e colocou a proposta do aluno: 
E imediatamente Alice concluiu: 
- Temos uma parte listada em quatro, ou sqa, 11111 
quarto. 
- Muito bern - concordou Samuel, que rcgistrou: 
• 1''11 ..__. 
~ t lem,m,: l.(.m ~a.rto 
Ft:ar;ao e todo par de 
. . . a 
numeros natura1sb, 
on de: 
- b, chamado deno 
minador, indica em 
quantas partes 
iguais o inteiro foi 
dividido; 
- a, chamado nume-
rador, indica 0 nu-
mero de pdrtes 
consideradas des-
se inteiro. 
Observa<;:iio importan-
1te: Como niio existe 
divisiio por zero, niio 
existe frar;iio 'com de-
nominador zero. 
Assim que ele escreveli, Juliana perguntou: 
- E no outro exemplo ... Se tivessemos apenas uma par-
te listada, como ficaria? 
Enquanto Samuel registrava na lousa a proposta de Ju-
liana, Beto respondeu: 
- Se a barra' tern cinco partes e s6 uma e listada, te-
mos urn quinto da barra listada. Nao e isso, Samuel? 
- Correto - afirmou ele e completou: 
• 1 luI I I 
--..--' 
~ e lemm: um. qt.A..U1-to 
Lino, que apenas acompanhava, propos, em tom de con-
clusao: 
- Quer dizer que podemos formar barras com qual-
quer numero de pe~as iguais e considerar as suas fra~c)es? 
- Exatamente! A ideia de inteiro pode variar de for-
ma, tamanho, quantidade de partes e assim por clianlc. 
E desenhou para·exemplificar: 
60 I I 
- 0 que caracteriza a fra~ao e que o inteiro considera-
do, de qualquer tamanho ou forma, seja dividido em partes 
iguais . Por exemplo ... 
Falou e dividiu as figuras em partes iguais: 
Mffi I I I I 
E, logo em seguida, pintou algumas partes das figuras, 
escreveu a fra~ao correspondente as partes riscadas em cada 
urn dos inteiros, registrando tambem a maneira de le-los: 
~ 
. .J:i 
•, ·'!:'"'""' 
' -;, 
.!f:FJ-.·. , :(!" •7.' .""' ~ r:. .. 
-tre1- clo(A, 
1~rt<n t.ft.Ulrt.M-
Oll ~ OtL ~ 
1rfh-
·te..r~ 
0\lw~ 
q.~.tairo 
'ftAi.n.-to1,_, 
00.,4 
b 
Como todos houvessem entendido, Samuel continuou 
a aula: 
- Lino, Icmbra-se de que voce me chamou a aten~ao 
para o nivel da agua Ia no a~ude? 
- Lcmbro. Eu comentci que a a ltura normal da agua, 
que e de 50 metros, estava rcduzida a 10, por causa da seca. 
Lino ainda nao tcrminara de falar e Samuel ja se pos 
a desenhar: 
50 
""" 
..:to-
30 -
20-
fO -f 1 
- Vamos imaginar que este eo a~ude; ele tem 50 me-
tros de profundiclade, mas esta reduzido a marca dos I 0. Co-
mo as marcas sao de 10 em 10 metros, podemos considera-lo 
como se fosse formado por 5 partes iguais de 10 metros ca-
da uma, em que apenas uma das partes contem agua ... 
Em seguida, Samuel fez urn novo esbo~o da situa~ao, 
mais apropriado a analise sob 0 ponto de vista das fra~6es: 
1---------- -- --
±Mm~I.Ul 5 o.~Ltde cheio 
01! _§_ 
5 
~··~} ~ co~ &q~.t~ 
- Quer dizer que apenas urn quinto do a~ude tern agua? 
- interrogou Lino. 
- Isso mesmo - confirmou Samuel. - Temos qua-
tro quintos sem agua.Caso o a~ude estivesse cheio, teriamos 
cinco quintos de agua, que e a sua capacidade total. 
9 \ 
~ ~. ----------------------~----------------------------------~ 
- Que legal - comentou Tais. 
Nesse instante, Marcelao fez uma pergunta: 
- Pra que existem as fra~oes? 
- Elas servem para representar partes iguais de intei-
ros ou partes iguais de quantidades - esclareceu Samuel. 
-Voce poderia dar urn exemplo? 
Samuel pensou um pouco e propos: 
- Imagine que a sua mae fez uma daquelas deliciosas 
tortas de chocolate ... 
- Humm . .. fez Lino com agua na boca. 
- Ela poderia dividir a torta assim, supondo que a fa-
milia tcnha cinco pessoas ... 
([ill) 
- Se eu ficasse com a parte menor, reclamaria! - brin-
cou Beto. 
- Tenho certeza que sim - tornou o professor. - Dai 
surge a necessidade de dividi-la em cinco partes iguais, nao 
e mesmo? 
Todos concordaram e Samuel procedeu a nova divisao: 
- Agora sim - aplaudiu Beto. Como cada urn vai ga-
nhar urn quinto da torta, todos vao comer peda~os iguais. 
_:__ Ja deu para perceber a importi'mcia das fra~oes? -
quis saber Samuel. 
Como todos tivessem entendido o exemplo, Samuel deu 
continuidade a aula, passando a comentar como as fra~oes 
devem ser lid as . 
-Bern pessoal, voces Ja perceberam como se leem al-
gumas fra~oes. S6 para recordar, vou escrever algumas fra-
<;oes na lousa para voces lerem: 
3 a.) 2 b)} 
-No exemplo a, devemos ler tres meios - disse 
Juliana. 
- E no b, Iemos dois ter~os - completou Guilherme. 
- Esta correto - confirmou Samuel. - S6 para con-
firmar: nas fra~()es, devemos ler o numerador e depois ode-
nominador. Os denominadores 2 e 3 sao lidos meios e ten;os, 
respectivamente. 
- Tambem ja sabemos ler as fra<;6es com denomina-
dores quatro e cinco - lembrou Beto. 
- E verdade, mas vamos deixar bern claro como deve-
mos ler as fra<;6es que tenham denominadores de quatro ate 
nove; primeiramente, Iemos o numerador e, em seguida, Ie-
mos o denominador como urn numeral ordinal. 
-Numeral ordinal? Como assim?- perguntou Tais. 
- Numerais ordinais a partir de quatro ate nove sao: 
quarto, quinto, sexto, setimo, oitavo e nono, ou entao no 
plural, dependendo do numero de partes. Assim, observem 
- e escreveu algumas fra~6es registrando por extenso a for-
ma de le-las: 
~ trM. oi:ta. voi-
~ tr~ C,JUartOi.-
~ 41u.alro ~exto1-
5 . 
~ CLnCO l'\.0~ 
; Jo~ qu.ittt~ 
i lAW\- 1ih~o 
- Agora- prosseguiu Samuel-, as fra~6es que tern 
denominadores dez, cern, mil, dez mil sao chamadas fra~6es 
decimais. Lemos o numerador e, em seguida, os denomina-
dores : decimo, centesimo, milesimo ... , ou no plural, depen-
dendo do numero de partes. 
Propos alguns exercfcios para os alunos e eles escreve-
ram como as fra~6es deveriam ser lidas: 
~ qtA.atro clecimDlt 1~0 cirtco cevt:t6~ 
1~ -1ete- mili1-tm~ 
A classe achou facil, mas Alice ainda nao estava sa-
tisfeita: 
- E as outras fra<;6es, como Iemos? 
- Nas fra~6es que tern denominador acima de nove, 
e que nao sao decimais, Iemos o numerador e a seguir o de-
nominador, acrescido da palavra avos, por exemplo: 
3 t A • 15 r~ '-f-14.Lvt:z.e avoi-
J4 00\le tri~tct e qwnro ~vo-it 
E para verificar se todos estavam compreendendo, Sa-
muel propos urn exercicio, explicando antes o seguinte: 
- Em cada urn dos inteiros,voces devem considerar 
qual fra~ao deles esta riscada. Em seguida, escrevam mate-
maticamente e por extenso como se le cada uma das fra<;6es 
encontradas . 
Depois de certo tempo, Samuel escreveu na lousa as res-
pastas que os alunos davam: 
~ 
~ 
1 
2. 
!Am rne1.0 
5 
• 6 ~~A 
ClvtCO ~exu.r.l-
7 
12 
-1ei:e. dOze avoo., 
g 
s 
oclo oi:tav~ 
- Excelente, pessoal!- comentou ele ao constatar que 
a maioria tinha acertado. - Por hoje e s6, que ja vai bater 
o sinal. 
- Mas n6s nao vamos usar aqueles cart6es da caixa? 
- perguntou Al ice, a descobridora deles. 
- Vamos usar sim, mas nas pr6ximas aulas- disse Sa-
muel, enquanto a turma se desped ia. 
casa 01isteriosa 
lice encontrou Beto e Tais confortavelmente ins-
talados na varanda da bela casa. Por toda volta, 
s6 se via o laranjal e, por cima das copas, urn Iindo 
ceu azul, sem nuvens. 
Por causa do calor, Tais estava muito a 
vontade numa rede, vestindo apenas short e 
camiseta. Alice procurou Iugar junto a Beto. 
- Que calor, hein? - comentou ela. 
- Eu acho 6timo! - disse Tais entusiasmada. 
- 0 que voces acharam da aula do Samuel? 
1 
0 ; 15 
I, 
Alice perguntou -no plurai, mas dirigia-se quase exclu- - E verdade, ela esta sempre fechada e ninguem co-
. sivamente a Beto, ja que Tais s6parecia se preocupar com nhece os seus donas ... Mas isso nada tern de misterioso . Pro-
a verao. ' vavelrnente, pertence a alguem que nao precisa dela ... -
- Eu gostei! Entendi tudo! - respondeu o garoto. considerou Beto. 
- Se fosse voce, nao ficaria tao empolgado ~contra- 0 amigo ouviu com aten~ao, mas nao se deu por 
riou a irma. - Hoje foi refresco, mas logo vern chumbo vencido. 
grosso... 1 -Sabem o que acabo de ver Ia? 
- E claro que vern materia nova ... Chumbo grosso, co- - 0 fan_tasma ?a c~Iina! - respon~eu ~lice no a to, 
mo voce diz ... Se fosse para ver materia conhecida, nao te- provocando nsos. LI~o vi~o~-se na sua_ due~ao: . 
ria grac;a nenhuma. - Sabe que voce esta fiCando mmto engra~admha? 
Sem se importar com a explica~ao do irmao, Tais apon- - A final, o que voce viu de tao estranho? - insistiu 
tou para a alam~da que conduzia a casa. Beto . . . . . , 
- Olhem la ... Chegou quem faltava. - VI fuma~a samdo ~a.chamme. 
Beto e Alice observaram pelos vaos da mureta e reco- . - Fuma<;:a? Na chamme daquela casa? - estranhou 
nheceram Lino, que vinha a toda pressa. Tais. . . . 
~ Lino.:. Estamos aqui, na varanda . .. _ avisou Be- -_Ora, viva!~ aplaudm Beto. Fmalmente saberemos 
to, levantando-se e agitando os bra~os. quem ~ao o~ donas. . .. 
0 amigo retribuiu com urn gesto de mao e dirigiu-se a Lm? nao s_e mostrava nada empolgado com a Ideia. E 
escadaria, na frente da casa. Subiu para a varanda aos sal- prossegum, hesit~nte: . . . . 
tos e veio ao encontro dos companheiros, na ala lateral da . - E tern mais.: . Alem de fuma~a na chamme, ouvi urn 
casa a mais fresca. · gmncho deyorco. · · . ~ 
'_ p - . . . . ---: Gumcho de parco? - estranhou Ahce. - E voce 
ensamos que nao vma mais .. . - comentou Tais . · · h d -1 ? 
I 
. . . . . . nunca ouvm gumc o e parco an es. 
- magme se Lmo ma nos pnvar de sua companhia... C t Cl · · · h ·t L" _ brincou Beto. - er o... aro _q~e Ja ouv1, mas ... - esi ou m~. 
. . . - De repente, a chamme de uma casa abandonada se poe 
Os garotos nr~~· ~n~uanto Lmo procurava urn Iugar a sol tar fuma~a ... e, ainda por cima, uma porca guincha ... 
no banco. E .~eto msts~m. _ ? - Uma porca? - interessou-se Tais. -Voce conse-
E _dai. _Qual fm a r~zao do atraso · ,. gue identificar o sexo dos porcos pelo guincho? 
- Nao, s~I n~m ?se devm contar._. · . ? '· Ninguem se agiientou; riram todos com espalhafato. 
~qual e, Lmo. Suspense pra c1ma da gente. - cen- Custou para Lino conseguir falar: 
surou Ta1s. . . . -Voces riem porque nao estavam la! Eu fiquei ar-
. Ele se a]eitou no ban~o, ao lado ~e .A:hce, de maneira repiado! 
a poder ver o rosto de Ta1s na rede e miciOu: - lhhh ... Pelo vista, teremos de levar Lino ate a casa 
- Bern . .. Voces conhecem a casa abandonada... dele ... - insinuou Tais . 
--:- A gent~ conhece desde que nasceu! Quale o proble- I Quando retomaram a seriedade, Beto sugeriu: 
rna, Lmo? -;- mterpelou Beto. , - Por que a gente nao vai ate Ia dar uma olhada? ... 
-:- Problema? Poe problema nisso! E wisteria mesmot - Boa ideia - aplaudiu Alice. 
- agttou-se o garoto. - Nao contem comigo! - desistiu Tais. - Nao saio 
Corri ar de riso, Alice interferiu: , desta sombra por nada do mundo! . 
- Nao va me dizer que voce anda levando a serio as .: - Tudo bern. Podemos ir amanha a tarde - tornou 
. hist6rias que os caboclos contam... Beto. - Quem topa? 
- Nao. Quer dizer. .. Claro que nao! Toparam todos e Alice juntou uma pitada de humoc: 
_; Entao, qual eo misterio? - cobrou Alice. , - Muito bern, iremos amanha a tarde ... E .. . E ... E se 
l:ino fez urn intervalo, aparentemente indeciso entre ' o morador for realmente urn fantasma? ... • 
p,;osseguir e parar. Por fim, retomou: Ela falou rindo, e Tais embarcou: 
' -Born.:. E. 16gico que nao .acredito nessas hist6rias... - Seria 6timo! Poderiamos cobrar ingressos para a vi-
Mas, que aquela casa e muito esquisita, isso ela e! sitac;ao e, como dinheiro arrecadado, comprariamos os ins-
li 
F" 
~-------------------------------- 1 --------------------------------~ 
trumentos pro nosso conjunto. Puxa, ja faz urn tempao que 
a gente esta querendo montar urn ... 
Com a tirada de Tais, retomaram o tema do dia-a-dia. 
-Ate que nao seria rna ideia ... - considerou Beto.-
Pelo jeito, s6 conseguiremos os nossos instrumentos atraves 
de alguma interven<;ao sobrenatural mesmo ... 
- Voce falou com o seu pai? - interessou-se Lino. 
- Falei - disse Beto desanimado. 
- E ele? 
- Ele diz que agora o dinheiro anda curto. 
Lino reagiu com desanimo: 
- Quer dizer que nada de instrumentos mesmo? 
- E voce, Lino? Conseguiu alguma coisa? - quis sa-
ber Alice. 
- Consegui nada- respondeu ele.- Nem tive cora-
gem de tocar no assunto ... Meu pai esta s6 esperando o fim da 
safra pa':.a ver se nao teremos prejuizo por causa da seca. 
- E ... Ainda acho que o melhor seria n6s mesmos ga-
nharmos o dinheiro para comprar nossos instrumentos - dis-
se Tafs. 
- E ganhar onde? Como? - reclamou Lino. 
Ao que Tafs contrapos com humor: 
-Ora ... Vendendo ingressos para a visita<;ao publica 
ao seu fantasma! 
7 4 Fra~Oes se01 
Dlisterios 
I I 
Ill • aquela manha luminosa, mal Samuel entrou na 
N 
sala e come<;ou a recapitular. 
- Na ultima aula, tivemos as primeiras 
ideias sobre fra<;6es. Aprendemos o que elas re-
presentam e como devem ser lidas. No entanto, 
e preciso deixar claro que podemos, tambem, 
calcular fra<;6es de quantidades... . 
- Fra<;6es de quantidades? - confundiu-se Marcelao. 
- Como assim? 
- E simples. Para cakular fra<;6es, eu posso conside-
rar coisas inteiras, como uma figura, urn bolo, uma deter-
minada area... E posso considerar, tam bern, urn a cei:ta 
quantidade como algo inteiro. 
E, dizendo isso, espalhou o conteudo de urn pacote que 
trouxera sobre a mesa: vinte ameixas. 
- Vamos supor que eu queira calcular dois quintos des-
sa quantidade vinte. Primeiro, terei de separa-la em cinco gru-
~ 
- ~1 . 
[,,. 
• 
., ·j ·' 
1:: 
.. : 
pos, pois o denominador que indica em quantas partes o in-
teiro sera dividido e cinco. 
Fez urn intervalo para ver se a classe acompanhava a 
explica<;ao. 
- Sao cinco grupos de urn quinto, nao e Samuel? -
perguntou Juliana. 
E ele devolveu a pergunta: 
- Sim, e quantas ameixas vao corresponder a urn quinto 
nesse caso? 
- Born, vamos ter que separar os grupos- disse Beto. 
E assim fizeram: 
0 \8:; 
OJ \& 
'(.]-"')_ 
'(J(J 
Samuel foi ate a lousa e representou a situa<;:ao com urn 
desenho: ,. 
1 f 1 1 1 
55 55 5 
~~~iggjgg\ggjgg I 
E logo Guilherme concluiu: 
- Ah, urn quinto de vinte ameixas corresponde a qua-
tro ameixas! 
- E dois quintos correspondem a oito ameixas! -
acrescentou Beto. 
- E tres quintos sao doze ameixas! - prosseguiu Tafs. 
Samuel concordou com as observa<;:6esdos garotos e 
continuou com a aula: 
- Esse exemplo deixa claro que n6s podemos calcular 
tambem fra<;:6es de quantidades. Nesse caso, o inteiro consi-
derado foi a quantidade vinte. 
- Eu nunca havia pensado em partes de quantidades 
assim ... - interveio Juliana. 
- Poderiamos, por exemplo, considerar a distancia en-
tre duas cidades como algo inteiro. Supondo que uma cida-
de A fica a uma distancia de 72 quilometros da cidade B, 
n6s terfamos ... 
Dirigiu-se a lousa e riscou: 
~~======~7=2~h~m~====- 5 
/----------------------------------------------------------- ~ 19 
-Agora, vamos imaginar que alguem saiu da cidade 
A em direc;ao a cidade B, e andou dois sextos da disUincia 
entre elas. Como podemos calcular a distancia que essa pes-
soa percorreu? 
Quem se manifestou foi Alice: 
- Primeiro, temos de dividir a distancia total de 72 qui-
lometros em seis partes iguais. 
- Por que? - perguntou Beto. 
- Ele andou dois sextos da distancia total, nao foi? 0 
denominador seis indica que o inteiro foi dividido em seis 
partes de urn sexto; nesse caso, o inteiro, ou seja, a distancia 
total, sera representado pela frac;ao seis sextos - explicou 
Samuel. 
E escreveu: 
£~n"'m 
6 
A 72 kl11 
? 5 
- Agora teremos que calcular dois sextos dessa distan-
cia . . . Nao foi isso que voce propos? - lembrou Lino. 
- Sim - concordou Samuel. E como faremos isso? 
- Precisamos achar quanta vale urn sexto- concluiu 
Be to. 
Alice, que se mostrava pensativa, arriscou: 
- Samuel, eu estava me lembrando que a gente ja 
aprendeu problemas mais ou menos assim: se sete lapis cus-
tam tanto, quanta custarao cinco lapis? 
- E verdade ... - concordou Lino. - A gente tern que 
descobrir o prec;o de urn lapis e, como prec;o de urn, calcu-
lar o valor da quantidade que quiser. 
- Muito bern lembrado, turma. Entao, se nos sabemos 
que seis sextos equivalem a 72 quilometros e precisamos cal-
cular o valor de urn sexto ... 
- E so dividir 72 por 6 - completou Tais. 
Alice, que ja havia feito o calculo, adiantou: 
- Urn sexto de 72 quilometros corresponde a 12 quilo-
metros . 
- Muito bern - aprovou Samuel, escrevendo: 
6 
6~72hm 
~ __.,. 72:6.::12 
A I 12 I 12 I 12 I 12 I 12 I 1'2. I 5 
~ 
? 
- Se urn sexto corresponde a 12 quilometros - conti-
nuou ele - , os dois sextos que indicam a disU'mcia percorri-
.. 
~ 
.... 
L-
~~ 
. 
~ 
~ 
da correspondem a duas vezes 12 quilometros. Ou seja, 24 
quilometros. 
Falou e completou: 
~ ~72hm 
1 72:6:::12 A 12 12 12 12 12 12 P.\~~- -----:--- - ·-___.., 6-t 't Ln<..~d Uw J:.!l 
~ --. Zx12=-24 km ? \ '.~ssocla!fao Oeste_. 
"-~,,w----
- Muito bern- ia completando Samuel, quando foi 
interrompido por Marcelao: 
- Po! Esse cara nao esta cansado! Andar tudo isso ape! 
- Bern, ja que ele andou tanto, nos podemos trabalhar 
mais urn pouco - observou o professor. - Agora, final -
mente, vamos comec;ar a trabalhar com esses cartoes. 
Dizendo isso, foi distribuindo quatro cartoes para ca-
da aluno, sendo urn marrom, urn cinza, urn rosa e urn preto, 
e passou as explicayoes: 
- Nos ja temos algumas ideias claras sabre frac;oes ... 
Daqui para frente, para facilitar o nosso trabalho, vamos uti-
lizar urn material que nos mesmos vamos preparar. 
Em seguida, Samuel propos a classe: 
- Comparando esses cartoes, o que voces podem 
perceber? 
- Sao de cores diferentes - observou Tais. 
- Mas todos tern o mesmo tamanho - percebeu 
Juliana. 
- E isso mesmo- confirmou Samuel, que continuou 
suas explicac;oes. - Quando preparamos urn material de fra-
c;oes como este, e preciso que os inteiros sejam do mesmo 
tamanho, a fim de que possamos comparar as frac;oes que 
viermos a encontrar. 
- Por que os cartoes sao de cores diferentes? - per-
guntou Juliana. 
- Porque isso facilitara o nosso trabalho, quando co" 
meyarmos a compara-las. 
- Mas os cartoes poderiam ser rnaiores . .. - interveio 
Marcelao. 
- 0 tamanho e a forma poderiam ser outros ... 0 im-
portante e que os cartoes usados tenham o mesmo tamanho 
e a mesma forma entre si. 
Em seguida, Samuel pegou o cartao preto eo mostrou 
para a classe. 
- Nos vamos considerar este cartao preto como sendo 
0 nosso inteiro padrao. lsso quer dizer que nos nao vamos 
corta-lo, pois ele servira para as nossas comparayoes . 
"I 
II·· 
l•11 
20 ~ 21 
- Agora, peguem o cartao man·om, dobrem ao mcio 
como este aqui ... 
- Eu ja dobrei - adiantou-sc Lino. 
- 6timo! Estou vendo que todos dobraram seus car-
toes marrons em duas partes ... E, assim, cada parte passa 
a representar urn meio do nosso inteiro, correto? 
Como todos concordassem, ele prosseguiu: 
- Agora, voces vao cortar este cartao no local da do-
bra e escrever a fra<;ao correspondente a cada uma das 
partes ... 
Depois que os alunos cortaram e escreveram, pediu: 
- Coloquem, agora, as partes cortadas sobre o cartao 
preto e comparem. 
E os garotos assim fizeram. 
- Legal! Cada parte marrom representa urn meio do 
nosso inteiro! - observou Tais. 
- E as duas partes marrons juntas sao dois meios -
completou Juliana. 
Samuel concordou com as garotas e questionou: 
~ ·· 
- E quando colocamos os dois meios em cima do car-
tao preto, que e 0 nosso inteiro, 0 que notamos? 
- Que eles tern o mesmo tamanho do inteiro. E isso, 
Samuel? - indagou Guilherme. 
- Tinha de ser! Antes de a gente cortar, eles nao ti-
nham o mesmo tamanho? - comentou Lino. 
Samuel ouviu as observa<;6es e confirmou: 
- E isso mesmo. Dessa forma, n6s comprovamos que 
dois meios valem o mesmo que urn inteiro. Ou nao? 
- Valem! - concordou a classe em coro. 
- Hummm .. . E por que o denominador da fra<;:ao que 
corresponde a cada cartao marrom e dois? - perguntou 
Samuel. 
-Ora, porque dividimos o inteiro em duas partes! -
respondeu Alice. 
- Eo numerador da fra<;:ao correspondente a cada parte. 
marrom e urn, porque cada parte e uma parte - completou 
Lino. 
- Conclusao brilhante! - brincou Tais, virando-se pa-
ra o amigo. 
- Perfeito! Suas observa<;6es estao corretas- concluiu 
Samuel. - Notem que o importante e saber o porque de tu-
do que fazemos. 
A classe concordou e ele sugeriu: 
- Vamos registrar nos cadernos as observa<;:6es que 
fizemos? 
E ja se voltou para a lousa, escrevendo: 
a) z 1rv T 
-Que sinal e esse ai, Samuel?- alarmou-se Juliana. 
-Eo simbolo matematico para equivalencia. Ja que 
dois meios valem o mesmo que urn inteiro, podemos usar esse 
simbolo para representar isso. 
Os jovens anotaram e o professor seguiu adiante. 
- Cada urn de voces vai pegar, agora, urn carUio cin-
za,. dobrar ao meio como o marrom e corta-lo. Deixem as 
partes juntas e nao escrevam nada ainda. 
- Assim, Samuel? - perguntou Beto. 
- Ficaram iguais as partes do cartao marrom - no-
tou Marcelao. 
- E mesmo - disse Samuel. - Entao, peguem cada 
parte cinza, dobrem ao meio e cortem novamente. 
Samuel deu urn tempo para a prepara<;:ao e tornou: 
- Cortaram? 6timo! Coloquem, entao, as quatro par-
tes cinza sobre o cartao preto e escrevam em cada parte a 
fraGilO correspondente a ela: 
• '', i "'t, '}'!.~ 
1 
,,.i(.l 
• >• 
' •, ',l 
I ,-4 ,,'•'-11 
r '• I ~ 
~ oN!1!1 It ',, ' 1 Ill 
• I•.J, 
- Cada parte ficou sendo urn quarto do inteiro - cons-
tatou Beto. 
- E quando a gente junta tudo, fica com quatro quar-
tos, que e o mesmo que urn inteiro - concluiu Guilherme. 
Samuel concordou e considerou: 
- Desconfio que voces ja estao percebendo para que 
servirao estes cartoes ... 
-Para que a gente possa comparar, nao e isso?- ten-
tau Tafs. 
- lsso mesmo. 
Na lousa, ele completou: 
2. 4 ct) 1 rv 2 ""-' 4 
- Ja anotaram? Vamos continuar. .. Peguem, entao, 
uma parte marrom e comparem com duas partes cinza. Ou 
seja, comparem urn meio com dois quartos e vejam o que 
descobrem ... 
Os alunos fizeram conforme o proposto: 
- Que legal! U m meio tern o mesmo tamanho de do is As trar;:aes que repre-
quartos - exclamou Beto diante da descoberta sentam am esma pa!-. te do mtelfo sao 
- Observa<;:ao correta! Nesse caso, dizemos que as fra- cham adas fr a<;:oes 
<;:oesurn meio e dois quartos sao fra<;:oes equivalentes. Em eqwvalentes. 
outras palavras, as duas representam a mesma parte do 
inteiro . 
- Quer dizer que se eu dividir o inteiro ao meio e pe-
gar uma parte eo mesmo que dividir o inteiro em quatro par-
tes e pegar duas? - perguntou Marcelao. 
- Exatamente a mesma coisa- observou o professor. 
Lino pos o indicador na testa, como se houvesse desco-
berto algo e disse: 
- Entao, se eu comer meio bolo ou dois quartos de bo-
lo, estarei comendo a mesma quantidade? 
-Claro que sim. Desde que os bolos tenham o mesmo 
tamanho. Entendido? Coloquem a nova observaGilO no nos-
so resumo. 
2 
4 
a.) 1rv Z "'-' 4 2 b) ~ rv 4 
Depois de registrar no caderno, Alice considerou: 
- Lino tinha de por urn bolo no meio eta questao! 
- Eu nao pus o bolo na questao, apenas trouxe a ma-
tematica para o clia-a-clia - clevolveu ele. 
0 professor, que ouvia atento, interveio: 
- Entao, responda, Lino ... Voce comeria mais bolo se 
comesse clois meios ou quatro quartos? 
Lino pensou urn pouco antes de responder: 
- Comeria a mesma quanticlacle, porque clois meios 
equivalem a quatro quartos. As cluas fraG6es representam a 
mesma quanticlacle, que e urn inteiro. 
- E Lino comeria mesmo!- aparteou Tafs.- Preci-
sa ver como ele come! 
A classe riu muito com o gracejo de Tafs, e logo Sa-
muel prosseguiu: 
- Vejamos, agora ... Se eu pegar tres peclaGOS cinza, que 
fraGilO terei? 
- Se cacla cqrtao cinza representa urn quarto, tres cle-
les serao tres quartos - concluiu Beto. 
- Perfeito- aprovou o professor. -Vamos passar, 
en tao, ao cartao rosa ... Dobrem-no em oito partes iguais e 
cortem-no nas dobras. 
Samuel acompanhava o trabalho. Os alunos dobraram 
ao meio, obtenclo cluas partes e cortaram. Novas dobras ao 
meio, e novos cortes, agora quatro partes. E, novamente, cor-
tanclo as quatro partes, conseguiram oito cartoes iguais. 
Tafs terminou e constatou: 
- Cada uma clessas partes rosa representa urn oitavo, 
pois o inteiro foi dividiclo em oito partes iguais. 
Sob a orienta<;:ao de Samuel, os alunos marcaram a fra-
<;:ao corresponclente a cacla parte. Em seguicla, colocaram os 
oitavos sobre o cartao preto que representava o inteiro: 
- Entao- concluiu Beto - oito oitavos eo mesmo 
QUe um intciro. 
- Muito bern- cumprimentou Samuel que, em segui-
da, pegou as seguintes fra<;:6es e as comparou: 
;~~ :~:.:'.' 
1 
2. 
., 
' , . ·,: .. _,,. 1 , "' 'l: 
~ 'wl "' , A '· , 
(; • ~ )>' ', ';_1'1; 
! 'I ' ' ;.:'" . 
;, , ""l :':t~P '· 
- ~\";' s 
..... ,, 
Os alunos fizeram o mesmo em suas mesas e nao de-
111oraram a perceber: 
- Urn meio, dois quartos e quatro oitavos sao fra<;:6es 
equivalentes- disse Tais. - Todas representam metade do 
inteiro. 
- lsso mesmo!- concordou Lino.- Repartir ao meio 
e pegar uma parte e o mesmo que dividir em quatro partes 
e pegar duas ou dividir em oito e pegar quatro partes. 
- E ainda tern mais - observou Beto, mostrando as 
seguintes fra<;:6es: 
- Da pra notar, tambem, que urn quarto e equivalen-
te a dois oitavos. 
- Muito bern, Beto. Vamos aproveitar a sua observa-
~ao e registni-la. Venha ate o quadro e complete o resumo. 
a) 1 rv _g_ I"V ±. rv ~ 
2. 4 8 
b'\ ..L "-' .£ rv ± 
/2 4 g 
c)-1 "--'~ 4 g 
Como Samuel comc<;:asse a recolhcr o material, Marce-
lao quis satisfazcr uma curiosidadc: 
- 0 material que vamos preparar c s6 esse? 
- Nao. Aguarde que amanha n6s continuaremos - avi-
sou Samuel. 
0 fantas01a -assa pao 
tarde, os quatro se reuniram para realizar a sen-
A I sacional expedi<;:ao a casa abandonada. Lino foi o tiltimo a chegar. 1 - Que demora! - criticou Tais . - Pensa-mos que o fantasma tivesse sumido com voce! 
- Desculpem ... E que aproveitei para dar 
uma examinada, quando vinha para ca. 
- E dai? Encontrou o fantasma da colina? - brincou 
Be to. 
Lino esperou que cessassem as brincadeiras e passou aos 
fatos: 
- Nao descobri nada e isso eo mais estranho. Ontem, 
havia fuma<;:a saindo da chamine; hoje, tudo esta quieto de 
novo, nenhum sinal de vida. 
- Bern . .. Acho que a (mica maneira de descobrir se ha 
alguem ou algo naquela casa e indo ate Ia averiguar ... 
_c_ Beto tern razao! Vamos?- convidou Alice, que nem 
bern terminara de falar e ja foi se colocando a frente do gru-
po, seguida de perto pela Tais. Os dois garotos seguiram lo-
go atras. 
0 acesso mais facil era pela estrada, de maneira que des-
ceram ate o a~ude e tomaram a direita, dire~ao onde mora-
vam Lino e Samuel. E transposta a grande subida, avista-
ram a casa abandonada no extremo de urn terreno plano. 
- La esta ela - apontou Lino. - Como e que pode ~ 
sair fumac;:a da chamine de uma casa abandonada? 
Ninguem disse nada. E como se criasse novo impasse, 
Alice avan<;ou mais uma vez, comandando: 
- Se saiu fuma<;a, tern fogo! E se tern fogo, tern gen-
te! Vamos p6r tudo em pratos limpos! 
- E ... Se nao formos, continuaremos sem saber. .. -
apoiou Beto, acompanhando a amiga. 
- Por via das duvidas, e melhor nao nos afastarmos 
muito uns dos outros ... - sugeriu Lino. 
- Ei, olhem aquilo! - apontou Alice . 
- Fuma<;a - constatou Beto. 
- Pelo visto, temos mesmo urn novo vizinho ... Vamos 
torcer para que nao seja nenhum chato! - comentou Tais. 
Desceram a encosta que se formava entre o leito da es-
trada e o plano onde se assentava a casa. Quando ja se en-
contravam bern pr6ximos, Beto pressentiu: 
- Esse fantasma cleve preparar urn cafezinho delicioso! 
- Humm .. . E mesmo! Tambem senti o cheirinho! -
apoiou Alice. 
- Ja posso ate adivinhar - prosseguiu Beto. - Deve 
ser uma daquelas velhinhas simpaticas, que tomam cafe com 
bolinhos a tarde. 0 0 
- Tambem pode ser uma daquelas velhotas de preto, 
com verrugas no nariz, que preparam sopas de sapos e ara-
nhas ... - riu Tais. 
Sentindo-se o alvo da tro<;a, Lino tratou de desconversar: 
- E claro que se houver alguem ai sera uma familia ou 
uma velhinha simpatica, como disse Beto ... Voce tern cacla 
uma ... 
A frente da casa estava fechada, os jovens deram a vol-
ta, tentando a porta da cozinha. Pelo vao entreaberto, vi-
ram a mesa forrada com toalha muito branca. E sobre ela 
urn belo pao caseiro, alem de uma bandeja com urn bule de 
cafe e uma canequinha de esmalte em vo.lta . 
- Oi de casal 
Bateram, chamaram, mas nao apareceu ninguem. 
- Ue ... Sera que nao tern ninguem?- estranhou Beto. 
Muito concentrado, Lino examinava o teto da cozinha, 
como se o dono da casa pudesse estar dependurado na cu-
meeira. 
- Muito esquisito - comentou ele. 
- 0 que e que tern de tao esquisito, Lino? A dona ou 
o dono da casa deve estar dormindo! Ou saiu por ai, pelo 
mato! 
28 
Beto chamou mais uma vez: 
- Oi de casal Tern alguem ai? 
Sem resposta, Tais empurrou a portae entrou ate o pon-
to que dava passagem para a sala. 
- Nao ha ninguem mesmo ... 56 se estiver no quarto ... 
Os demais entraram e se reuniram a garota. Alice nao 
tinha duvidas: 
- 0 dono da casa acabou de coar o seu cafe e foi tirar 
urn cochilo. Melhor a gente voltar outra hora. Nao fica bern 
invadir a casa das pessoas assim. 
Alice mal tinha silenciado, quando ouviram as suas 
costas: 
- Que moc;:ada bonita! De onde surgiram voces? 
Pegos de surpresa, voltaram-se para ver quem falava. 
E Lino por pouco nao desmaia de susto, o que nao passou 
despercebido a senhora, de pe junto ao batente da porta. 
-Credo, menino! Parece que viu fantasma! 
Cairam todos na gargalhada; Lino e que nao sabia on-
de esconder o rosto. 0 fantasma tao temido chamava-se do-
na Rosa e nao passava de uma senhora muito simpatica. 
Enquanto saboreavam o cafe com o delicioso pao ca-
seiro, a senhora contou: 
- Durante anos, meu irmao Jose economizou para 
comprar este sitiozinho, pensando em viver aqui, logo que 
se aposenta.sse ... Conseguiu comprar a propriedade, porem 
faleceu dois anos antes de completar os trinta e cinco de 
servic;:o ... 
- lsso e coisa da vida ... - comentou Tais. 
- Po is e ... Ele mal conheceu o sitio, pois vi via muito 
atarefado ... Como era solteiro, eu herdei a propriedade,mas 
tambem precisei esperar alguns anos ate obter minha apo-
sentadoria. Sou enfermeira. 
- Bern ... Pelo menos, a senhora tera uma vida tran-
qi.iila ... Nao precisa mais trabalhar. .. - considerou Tais. 
A mulher estranhou: · 
- Que e isso, menina! Quero ver esta terra produzir! 
- Eu acho que a senhora faz muito bern - interveio 
Alice. -Mas pelo que nos contou, nao tern experiencia com 
a terra ... E tam bern nao esta facil conseguir empregados por 
aqm ... 
- E verdade, dona Rosa - endossou Beto. - Alice 
fala por experiencia propria, os pais•dela vivem do cultivo 
da terra. 
- Jamais imaginei que seria facil. A aposentadoria que 
recebo e as economias nao sao muito ... Nao poderia sequer 
pagar empregados ... 
Os garotos entreolharam-se constrangidos. Por fim, Beto 
se manifestou: 
- Nao entendemos, dona Rosa ... Se a senhora nao tern 
experiencia e tam bern nao tern como pagar empregados ... Nao 
pode fazer todo o trabalho sozinha ... 
A mulher nao se perturbou. 
- Qual e a dificuldade, garotos? Eu dou sociedade na 
produc;:ao! Ofere<;:o terra, sementes, ferramentas e cinqi.ien-
ta por cento do que colhermos, como pagamento pelo tra-
balho. Eu sei que muita gente faz isso. 
- 0 que a senhora quer e urn s6cio para OS Jucros e 
tam bern para os riscos ... E isso? - indagou Tais. 
- Exatamente, menina! Quando alguem depende do 
que vai produzir, tenho certeza de que da mais aten<;:ao e cui-
dado ao que faz! 
0 que parecia J6gica a mulher deixava OS garotos mu-
dos. Mais uma vez, Alice senti u-se na obrigac;:ao de ser franca: 
- Dona Rosa ... Tenho a impressao de que nao sera facil 
conseguir alguem nessas condic;:oes. Falta mao-de-obra na 
regiao ... 
- Todo mundo esta indo para a cidade- apoiou Lino. 
- Nem todos- riu ela.- Muitos estao vindo das gran-
des cidades para o campo. Concorda? 
- E verdade - concordou Lino. E juntou:- De qual-
quer forma, pode contar conosco . Tentaremos encontrar 
alguem ... 
- Eu sei que posso contar com voces . 
Os jovens se despediram e, ao atingirem a estrada, Tais 
comentou: 
- Bern ... Agora, sabemos que temos uma vizinha de 
carne e osso .. . 
-E ... Pena que com aquele projeto ela nao vai muito 
Ionge - lamentou Lino. 
Beto nao estava muito certo disso. 
- Depend e ... Se ela encontrar a pessoa certa, sera urn 
born neg6cio para os dois lados. 
-Voce conhece alguem para indicar?- indagou Alice. 
- Eu estava pensando ... Em vez de pegar uma pessoa 
com pratica, ela poderia pegar varias sem pratica ... 
- Eu acho que assim a dificuldade aumenta - retru-
cou a garota. 
- Pois eu acho que nao - devolveu Beto. 
Tais encurtou o passo para indagar: 
- Ah, nao? Quem seriam essas pessoas? 
- N6s quatro. 
- N6s? -- espantaram-se todos. 
- Apesar de niio sermos lavradores, temos muito mais 
experiencia que ela. Sempre vivemos no campo. E pensem 
s6 no que poderiamos comprar com a nossa parte da so-
ciedade ... 
Tais bobeou por urn instante; em seguida, seus olhos 
brilharam. 
- Beto! Voce e urn genio! Poderiamos comprar nos-
sos instrumentos! 
- E niio se esque~am de que Alice tern pnltica com plan-
ta~oes - lembrou Beto. 
Alice nao esperou mais: 
- Eu topo! 
- Sera que ela aceita a gente? - perguntou Tais. -
Dona Rosa pode niio nos levar a serio - disse Lino desani-
mado.- Tambem tern a escola -lembrou Alice.- S6 po-
deriamos ajuda-la meio periodo. 
- Eu tenho a impressao de que ela topa. Niio sera fa-
cil ela conseguir alguem - reforGOU Beto. 
- 0 que estamos esperando, entiio? - interrogou Tais. 
- Vamos voltar Ia e dizer que aceitamos a sociedade! 
Beto, porem, nao tinha pressa. 
- Devagar, Tais. Eu acho uma boa ideia, mas e me-
lhor pensarmos mais sobre o assunto. Alem disso, precisa-
mos consultar nossos pais. 
- Beto tern raziio, e muita responsabilidade- concor-
dou Alice. - Vamos pensar melhor nos pros e contras. 
- Por mim ja esta pensado! Se dependesse de mim, 
amanhii mesmo a gente come~ava a plantar os instrumen-
tos! - brincou Lino. 
Os jovens riram muito e partiram para casa com o co-
ra~iio tocando num ritmo forte. 
No co01passo 
das &a~Oes 
N 
o dia seguinte tiveram aulas normais, sendo a 
ultima a do Samuel. Assim que entrou na sa-
la, ele distribuiu outros cartoes coloridos, do , 
mesmo tamanho dos que havia distribuido no 
dia anterior, e orientou os alunos a prepararem as 
seguintes fra~oes: 
~ 
1 1 1 
~ ~ q 
1 1 1 
9 ~ if 
1 j_ 1.. 
~ ~ 9 
Dessa maneira, cada parte vermelha representava urn 
terGo; cada parte bege, urn sexto; e cada parte branca repre-
sentava urn nono. 
Alguns alunos logo notaram novas fraG5es equivalen-
tes. Pegaram os cartoes correspondentes e demonstraram: 
1 
q 
1 
'3 
..L 
g 
rr 
I 
1 ~11 
I Ii i 
i \!\\1
1 
l 
1l1 
r 
II 
11 
II 
~1111 
1: 
'II 
I ill 
I 
~I 
. 
E todos perceberam que urn ten;:o e equivalente a dois 
sextos e a tres nonos, porque todas essas frac;6es representa-
varn a terc;a parte do inteiro, bern como notaram que tres sex-
tos e equivalente a urn meio. E continuaram a completar o 
resumo do dia anterior em seus cadernos: 
a' 1"-' ~"'"' 3 "-' 4 "-' ~ "-' ~ "V !1_ ., z 3 4 6 8 9 
b'i"\J ~ "-' ± rv ~ 'lz 4 g 6 
c) ..LtV 2 
4 8 
d) ..L "-' .£ rv 2.. 
3 6 9 
Nesse momento Samuel pediu que os jovens observas-
sem atentamente as frac;6es equivalentes que haviam acaba-
do de perceber. Em seguida, dirigiu-se a lousa e disse: 
- Todos ja sabemos que urn terc;o e equivalente a dois 
sextos, e a tres nonos, dessa forma podemos observar o se-
gui 11te ... 
E escreveu: 
1 I 
3 x 
z 
6 
1 ;) 3 
-=-
3 -- 9 
- lsso significa que podemos encontrar frac;6es equi-
valentes fazendo multiplicac;6es? - interessou-se Tafs. 
- Exato. Podemos encontrar equivalencias como fize-
mos ate agora, comparando as partes; ou como acabamos 
de descobrir. Notem que se multiplicarmos o numerador e 
o denominador de uma frac;ao por urn mesmo numero, des-
de que nao seja zero, encontraremos uma frac;ao equivalen-
te a ela. 
- E mesmo!- confirmou Lino. Se multiplicarmos os 
terrnos da frac;ao urn meio por quatro, encontraremos qua-
tro oitavos. 
E Samuel escreveu na lousa: 
E ratificou: 
1 x4 
2 x4 
= 4 g 
- Multiplicando os termos de uma frac;ao por urn mes-
mo numero, diferente de zero, encontramos sempre uma fra-
c;ao equivalente a ela. 
Como estivessem todos de acordo, ele propos: 
I ~----------------~~ 
•\$' 
. ~. 
~ I 
- Respondam, agora ... Se eu tiver a frac;ao quatro oi-
tavos, que operac;ao matematica deverei realizar com seus ter-
mos para voltar a urn meio? 
4 ? - 1 
8 ? - 2 
Todos os alunos se puseram a pensar e Alice disse: 
- Se multiplicando o numerador e o denominador da 
fra<;:ao urn meio por quatro encontramos quatro oitavos, 
entao ... 
- Ja sei! - disse Beto. - E s6 dividir o numerador 
e o denominador por quatro! 
Todos concordaram, pois haviam chegado a mesma con-
clusao. Contente com a descoberta dos jovens, Samuel com-
pletou, escrevendo na lousa: 
1 ~ - 4 1 =-4 2 4 - g 8 1 2 
-Com isso, percebemos a propriedade fundamental 
das fra<;:6cs: multiplicando ou dividindo os termos de uma 
fra<;:ao por urn mesmo numero, diferente de zero, obtem-se 
uma fra<;:ao equivalente a frac;ao dada. 
- Jsso vale para qualquer fra<;ao que imaginarmos? -
indagou Tais. 
- Vale. E notem o seguinte: apesar de trabalharmos 
nesse material s6 com alguns exemplos de fra<;:6es, elas sao 
infinitas. Nos preparamos esse material para que voces pu-
dessem entender bern o conceito de frac;ao, mas nem sempre 
trabalharemos com cart6es ... Ate porque seria impossivel pre-
parar infinitos cart6es ... Certo? Vamos, entao, verificar nos-
sos conhecimentos sobre as fra<;:6es, agora sem usar os cart6es. 
Dizendo isso, desenhou: 
~ . . . 
E perguntou: 
- Beto ... Que frac;ao a parte riscada da figura re-
presenta? 
- Humm ... A figura esta dividida em quatro partes, 
das quais tres estao riscadas ... Portanto, sao tres quartos. 
Propriedade lunda · 
mental das frar;6es: 
Multiplicando ou divi· 
dindo (quando possi 
vel) os termos de uma 
frar;ao parurn mesrno 
numero natural, dife· 
rente de zero, obtem· 
se uma frar;ao equiva· 
lente a frar;ao dada. 
Samuel escreveu a fra<;:ao ao !ado da figura e, desenhan~ 
do novas figuras, chamou alguns alunos para colocarem as 
fra<;:oes correspondentes: 
. 
~ ~ 
2 1 
6 4 
JA @9._·.·· ., ' "" 
3 1 
4 3 
2. 
4 
5 
6 
1 
2 
Enquanto Samuel foi fazer a chamada, cada urn come-
<;:ou a guardar o jogo de . fra<;:oes que havia preparado. Per-
cebendo isso, Samuel avisou: 
- Nao guardem as fra<;:6es que prepararam. Coloquem 
aqui nesta caixa, pois de agora em diante usaremos esse ma-
terial em conjunto, e logo voces saberao por que. 
Em seguida, pediu que Lino pegasse cartoes que repre-
sentassem a fra<;:ao cinco quartos. 
- Deverei pegar cinco cartoes de urn quarto . 
E dizendo isso, colocou-os no paine! que Samuel in-
dicara: 
1 
4 . 
1 
" 4 
- Muito bern ... Verifique se com as quantidades que 
tern chega a formar algum inteiro . . . 
- Quatro quartos ja formam urn inteiro!. .. 
E sob orienta<;:ao de Samuel, Lino arrumou os cartoes: 
I 
~ 
1 Dl 4 
1 1 
4 4 
Tais adiantou-se e observou: 
- Da maneira como estao colocados os cart6es, pare-
ce que temos urn inteiro e ainda urn quarto . 
- Justamente - confirmou Samuel.- As fra<;:6es que 
representam quantidades maiores que o inteiro podem ser es-
critas em forma de numero misto por terem uma parte intei-
ra e outra fracionaria! 
- Disse c escreveu: 
2... ou. 1 j_ 
4 . 4 
A seguir, propos varias fra<;:6es, pedindo aos compo-
nentes da classe que pegassem os cartoes e as representas-
sem, formando os possiveis inteiros. E, depois, fixaram os 
exemplos no paine! e escreveram as conclusoes: 
8 
30Lt 2~ 
3 
1 
9 
1 
9 
1 
1 
2 
1 
q 
j_ 
9 
1 
1 
q 
1 
q 
_1 
fj~ I 
L~~ I _j 
I ~ I I· ~ I 
I~ I I~ I~ I 1 ~~~~~~----~ 
13 4 
q g '::} 
9 Ott- 1-9 
Nesse momento, a fim de dar continuidade ao estudo 
de fra<;6es, Samuel dividiu a classe em tres grupos e para ca-
da urn deles propos que, usando os cartoes, representassem 
as fra<;6es das etiquetas que ele distribuia. Cada grupo pre-
parou o que !he foi proposto, colocando tudo nos respecti-
vos paineis, ficando assim: 
0 
1 
3 
0 
z 
~ OLt 1G 
~ OIA-2.4 '1 4 . 
1 ]_ ou. 3 2 
2 
0 
3 3 Ott, 1 
s 
4 OLt 2 
4 ott2 
2 
.2. ou., 3 
3 
Depois de tudo preparado, Samuel pediu que todos ob-
servassem atentamente os paineis e descobrissem as diferen-
<;as entre as fra<;6es apresentadas em cada urn deles. 
- 0 grupo A tern fra<;6es que nao chegam a formar 
urn inteiro - constatou Alice. 
- 0 grupo B chega a formar inteiros e tern mais algu-
mas partes alem dos inteiros formados. 
- E por que as fra<;6es do grupo C nao estao com as 
do grupo B? Elas tam bern formam inteiros? - indagou Tais . 
Foi Beto quem !he respondeu: 
- E que as fra<;:oes do grupo C representam inteiros sem 
mais nenhuma parte. Sao so inteiros mesmo. Veja, formam 
urn, dois, tres inteiros ... 
0 professor ouviu satisfeito os resultados das observa~ 
<,:oes e concluiu : 
- Voces observaram corretamente. So falta, agora, sa-
ber que nome recebem essas fra<,:oes ... 
- Ah, elas tern nome? - estranhou Tais. 
- Tern . 0 paine! A apresenta fra<;oes proprias; o pai-
ne! B, fra<,:oes improprias; e o paine! C, fra<,:oes a.parentes. 
Foi ate a lousa e fez un1 resumo das explica<;ocs: 
Fr~o P-r6P-ria t a~uela t,tue repre.~.ent~ park do 
er.ro. Porta.-tto t me.-tOr '-f'Ue. U+tt mtttr6. 
fra~ao i.mJ:lrom:t.o. i aquell.\. G.}!te conttl;t\ "W\ o~.t mai1 
~ie~r<». POrtanto u~d.- fr~ ~ wu:uor que o 
~~ro. · 
Fra{ao ~~arettte i a iMPr6pria .aue.. equivale. a 
udeirm. 0-numetaclor i mlllfaplo dO denominador. 
. E propos, em seguida, exercicios para que o grupo de-
terminasse a fra<;ao, bern como a sua classifica<,:ao . Para alc-
gria de Samuel, o grupo resolveu as questoes. 
~ 
7 
' > 
5 ( ' . ) g propra.a 
~ 
i ( propna) 
~~'?ti1] ar ... ~'C3 • ! (ap~re.nte.) ~J II ~ (impropri~) 
•• fl})rf!J~ ~ (aparet1te.) ~ (improprla.) 
- Muito bern. Voces estao mesmo a(iados em fra<;:ao. 
Adivinhem, agora, qual e 6 proximo passo? 
- Nao consigo imaginar - reconheceu Beto . 
- Nem eu - secundou Alice. 
Foi a conta de falarem e bater o sinal. 
- 0 proximo passo e entrar naquele confort<ivel fusca 
e tocar para casa, que meu est6mago esta roncando de fo-
me! - disse Tais inspirada. 
- lsso mesmo - disse Samuel, entregando-lhe as cha-
ves. - Podem tomar seus lugares que num minuto estou Ia. 
E so o tempo de lavar as maos. 
'! 
( . 
. Fra~io 
, . 
na pratica 
urante a noite que sucedeu ao encontro com do-
D na Rosa e no dia seguinte, os jovens consultaram seus pais sobre a ·ideia, conversaram demorada-. me~te com Sa_muel e, principalmente, discutiram m u tto entre Sl. '"\ 
·Os pais nao viam nada que pudesse repro-
var o projeto dos garotos, embora alertassem para a dificul-
dade do trabalho e para a responsabilidade que assumiriam 
diantc da nova vizinha, que, afinal, estaria contando com 
os resultados da empreitada. 
Samuel nao so se entusiasmou com a ideia, como aju-
dou a convencer os pais de Alice, que se mostraram um tan-
to relutantes de inicio. E, assim, numa tarde, logo apos a volta 
da cscola, rumaram em dire<;:ao a casa branca, com a deci-
sao tomada. 
A dona da casa, percebendo que os garotos mantinham-
se de pe, convidou: 
- Sentem-se, que eu vou cortar este bolo de mandioca . 
- Nao precisa se preocupar, dona Rosa. Nos viemos 
porque precisamos falar com a senhora. 
- Ora essa, Beto ... Voce e o Beto, nao e? 
- Sou eu mesmo . 
- Sente-se e sirva-se de bolo . Podemos conversar, en-
quanta comemos . 
Sem dar treguas, a mulher cortou o atraente bolo, que 
estava no centro da mesa, e serviu um por um. 
- Obrigada, dona Rosa - agradeceu Alice. 
- Humm ... Esta uma delicia! - elogiou Beto. 
- Comam a vontade! E, agora, se quiserem adiantar 
o ass unto que os trouxe, estou ouvindo ... 
Os olhosdo grupo se voltaram para Beto, que havia si-
do escolhido como o porta-voz. Meio sem jeito, ele come<;:ou: 
- E sobre a conversa que tivemos anteontem, quando 
nos conhecemos e falamos sobre os problemas que a senho-
ra encontraria para conseguir ajuda no trato da terra ... 
- Xiii ... Esta mesmo complicado! - desabafou ela. 
- Ainda hoje passaram dois trabalhadores ai na porta, mas 
ninguem quer arriscar por causa da seca. Querem ganhar por 
dial 
- E ... 0 pessoal esta com medo de nao colher nada 
- observou Alice. 
- Eu sei disso. 0 probJ-ema e que realmente nao tenho 
como pagar; so mesmo com parte da colheita. 
Os garotos entreolharam-se sem saber se ficavam tris-
tes pelas dificuldades da senhora ou sese alegravam pela pers-
pectiva que as circunstancias lhes ofereciam. Como Beto 
hesitasse, Lino cutucou-o e ele se abriu: 
- Bern, dona Rosa ... N6s nao somos exatamente tra-
balhadores rurais, mas temos alguma pnitica .. . Principalmen-
te a Alice, que ajuda os pais dela ... 
- Esperem ai. . . Deixem-me verse eu estou entenden-
do direito ... Voces estao se oferecendo para trabalhar comi-
go? E isso? 
Antes que Beto abrisse a boca, Lino descarregou: 
- E isso mesmo, dona Rosa! A senhora aceita? 
A mulher ficou sacudindo a cabe<;a, como se nao acre-
ditasse. Em seguida, questionou: 
- Voces entenderam bern a proposta que eu fiz? 
- Entendemos - respondeu Tafs. - Dinheiro s6 na 
colheita, se houver colheita! 
- E consultaram os seus pais? 
- Sim, n6s falamos com cles- tranquilizou Lino . -
Nao ha problema! 
- Voces sabem melhor que eu: trabalho no campo nao 
e facil. .. E assim mesmo estao dispostos? - tornou ela, co-
movida com a iniciativa dos garotos. 
- Por mim come<;ava agora mesmo!- respondeu Li-
no entusiasmado. 
Os olhos deJa brilhavam; por pouco nao se encheram 
de lagrimas. Beto percebeu e juntou: 
- Verdade que s6 poderemos dar nossa contribui<;ao 
no perfodo da tarde ... Alem de que, algumas vezes, teremos 
trabalhos escolares ou precisaremos estudar . .. 
Sem palavras, dona Rosa levantou-se, contornou a mesa 
e abra<;ou-se a Beto. Depois, voltando-se para os demais, disse 
oque todos esperavam com ansiedade: 
- Voces estao empregados! Ou melhor, sao meus s6-
cios no que produzirmos! 
Alegrifl maior, impassive!. Abra<;aram-se todos e, em 
seguida, selaram o compromisso com urn delicioso cafe coa-
do na hora. 
No entanto, a alegria maior era da mulher. 
- N6s conseguiremos ... S6 precisamos confiar em nos 
mesmos ... 
- Claro que conseguiremos - endossou Alice. - Meu 
pai disse que a terra daqui e muito boa! 
~ 
~ , .• 
' J• 
., 
----------------~ 
- Dona Rosa .. . A senhora ja pensou no que plantar? 
- indagou Beto, objetivo. 
E!a nao titubeou: 
- Come<;aremos com as coisas mais simples ... Verdu-
ras e legumes . Produzem mais depressa e garantirao pelo me-
nos a sobrevivencia. Que acham? 
- Esse tipo de plantio precisa de muita agua- preve-
niu Alice. 
- A agua existe, h<i varias nascentes Ia em cima. S6 pr~ 
cisamos puxa-la para baixo. 
- Uma mangueira- sugeriu Lino. 
- Exatamente - aprovou ela. - Vamos canalizar a 
agua. 
Depois da eu foria, Be to passou a pratica: 
- Precisamos conhecer os Iimites do terreno ... 
A mulher saiu a portae mostrou: 
- Notem que o terreno e quadrado. Tem cem metros 
de !ado, e gostaria que a metade dele ficassc para a casa e 
para o espa<;o livre. 
- Entao- disse Beto -, vamos plantar na outra mc-
tade, a que beira a cstrada. 
Nesse momento, Tafs pegou um bloco de papel da bol-
sa e desenhou apcnas a parte do tcrreno destinada ao plan-
tio, dividida em quatro partes iguais: 
[]]]J 
100m 
- E is so af - concordaram os demais. - Agora e s6 
calcular que parte do terreno correspondente a planta<;ao ca-
bera a cada um de n6s. 
- Se o terreno para plantio tern cern metros de com-
primento ... - propos Alice - dividindo por quatro ... 
- A cada urn de n6s correspondera uma parte equiva-
Jente a 25 metros - concluiu Lino. 
E indicou no desenho que Beto havia riscado: 
Z5m 25m 25m 25m __.._, _..._ _...._ _..._ 
IJilGJll 
~ 
. foom 
r ~~~~ 
1
111 
I 
I 
Ill 
1111 
Ill 
I I' .I 
~---------------
3 1 - =-
6 2 
Entao, questionou: 
- Qual dessas frac;:oes parece a mais simples? 
-Urn meio - tornou ela sem hesitar. 
- Certo. Eu posso considerar urn meio como a simpli-
ficac;:ao de tres sextos- concordou e interrogou: - Voces 
estaci lembrados da propriedade fundamental das fra<;:oes? 
7 
~~ · 
- ! f 
I 
I 
I· 
Ap6s urn curto silencio, Beto falou: 
- E aquela que diz que podemos multiplicar ou divi-
dir os termos de uma frac;:ao por urn mesmo numero .. . Nao 
e isso? 
- E como resultado, encontraremos uma frac;:ao equi-
valente - completou Juliana. 
- Estou vendo que voces ainda se recordam ... Agora, 
pensem nessa propriedade e me digam que calculo temos de 
fazer para simplificar tres sextos em urn meio? 
- Ora, Samuel. .. E s6 dividir os termos da frac;:ao por 
tres - respondeu Lino. · 
Samuel foi a lousa e indicou: 
E concluiu: 
3 · 
6 · 
1 
-2 
- Pprtanto, para simplificar frac;:oes, dcvcmos dividir 
os scus termos por urn mesmo numero, que seja divisor do 
numerador e do denominador ao mesmo tempo. 
E voltou a escrever: 
4 
12. 
Ap6s o que, questionou: 
- Como faremos para simplificar a frac;:ao quatro do-
ze avos? 
- Podemos dividir ambos os termos por dois- suge-
riu Tais. 
4 :2 
12. :2 
=2: 
6 
Quando Samuel terminava de escrever, Alice sugeriu: 
- Ainda da pra dividir por dois de novo! 
Ele gostou da intervenc;:ao e completou: 
4 :z Q :z 1 
--= =-
12:2 6 : '2 3 
- Espere ai, Samuel. .. - pediu Beto. -A gente nao 
poderia simpli ficar de uma vez s6, dividindo por quatro? 
45 
\ 
- Era isso mesmo que eu queria que voces percebessem. 
E registrou conforme o proposto: 
4 :4 
12:4 
;j_ 
3 
- As duas maneiras de simplificar estao corretas, mas 
o Beto percebeu que quatro e o maior numero possivel pelo 
qual os termos da fra<;ao poderiam ser divididos. De qual-· 
quer forma, 0 importante e chegar a uma fra<;ao irredutivel. .. 
- lrredutivel? - interrogou Marcelao. 
- Uma fra<;ao que nao possa mais ser simplificada. 
E propos varias fra<;6es para serem simplificadas: 
- Se voces perceberem qual e o maior divisor dos ter-
mos, a simplifica<;ao tera urn numero de passagens inenor 
e sera mais rapida. 
4 :2. Q 6 :2 3 
=- =-
6 :2 3 10:2 5 
5 :5 1 30 :10 3 -- =--
100:5 20 160 :10 16 
Para simplificar uma 
frar;:§o, deve-se dividir 
seus termos por um 
mesmo numero natu-
ral, diferente de zero, 
obtendo-se dessa for · 
ma uma frar;:ao equi-
valente 8 frar;:iio dada. 
As frar;:6es que niio 
podem ser simplifica · 
das s§o chamadas ir -
redutlveis. 
Exemplo: 
1 4 11 14 
Como a turma dominasse o assunto com facilidade, ele l£'o' T.'1' 75"· I 
deu prosseguimento a aula para que OS alunos conhecessem 
outros aspectos das fra<;6es. 
- Agora, vamos ver como somar ou subtrair fra<;6es 
como mesmo denominador. Para isso, voltaremos a usar os 
cart6es. 
Deslizou o indicador no ar e apontou para urn aluno: 
- Guilherme ... Va ate a caixa e pegue tres oitavos. 
0 jovem pegou tres cart6es rosa: 
Entao, ele chamou: 
-Alice ... Voce vai pegar quatro oitavos. 
~ ... -. -
Ela mostrou quatro cart6es rosa, ap6s o que Samuel quis 
saber: 
- Se n6s reunirmos estes tres oitavos aos quatro oita-
vos, que fra<;ao teremos? 
- Sete oitavos. Isto e, sete partes de urn oitavo - res-
pondeu Alice prontamente. 
Samuel aprovou e escreveu: 
3 4 7 -+ -==-
8 8 8 
Em seguida, o professor chamou Tais: 
- Pegue, vamos ver. .. Sete quartos. 
..1. 
4 
:~~~ /o:e~'m:rde~~~ 
mmador, somam-se 
os numeradores e 
'ponserva-se o d.eno-
minador. 
[£1 ~.. I .... --~ -------. . . I ln IJ: CU \v ",,J 
A garota pegou sete cart6es de urn quarto, dos qu~s; socla~ao Oeste 
Samuel retirou seis quartos. E dirigiu-se a classe: --~ 
- Com que fra<;ao Tais ficou? 
- Urn quarto! - acertaram todos. 
Ele confirmou com urn gesto e escreveu: 
7 6 1 
4-4=4 
- Muito bern ... 0 que voces perceberam sobre a for-
ma de realizar essas opera<;6es? 
- Nos nao mexernos no denominador. Fizemos as con-
tas, usando apenas os numeradores - percebeu Alice. 
- E verdade - concordou Beto. 
- Mas por que, Samuel? - indagou Lino. 
E Samuel passou a explana<;ao: 
- Notem o seguinte: o denomin-ador indica em quan-
tas partes o inteiro foi dividido; portanto, define o tamanho 
de cada parte. Como n6s estamos lidando com partes do mes-
mo tamanho, e s6 somar ou subtrair a quantidade das partes. 
Nao satisfeito, pegou urn cartao e prosseguiu: 
- Por isso, usamos uma cor para cada denominador 
e os cart6es da mesma cor sao do mesmo tamanhp. Por exem-
plo, tres cart6es bege com mais dois cart6es bege somam cinco 
Para subtrair frar;:6es 
como mesmo deno -
minador, subtraem-se 
os numeradores e 
conserva-se o deno-
1minador. 
·<3>-------------------------· 
cart6es bege, da mesma forma que tres sextos com dois sex-
tos resultam cinco sextos. 
Desenhou os cart6es na lousa e escreveu matematica-
mente a questao, antes de continuar: 
DDD 'DD 
2.+~==__§_ 
6 6 6 
- Dessa forma, fica clara que samar ou subtrair fra -
<;6es com o mesmo denominador e como contar partes do 
mesmo tamanho . 
Alice preferiu ilustrar com urn novo exemplo: 
- Entao, se eu tiver tres cart6es vermelhos e pegar mai s 
quatro, ficarei com sete cart6es vermelhos. Ou seja·, tres ter-
c;os mais quatro ter<;os resultam sete terc;os. E isso? · 
- lsso mesmo - confirmou Samuel, registrando o 
exemplo da jovem na lousa. 
ODD DODD 
~+ 4 ==:I_ 
3 3 3 
Todos compreenderam e alguem pediu um exemplo com 
subtrac;ao. 0 professor atendeu: 
- Se eu tiver dez cart6es cinza e Lino me tirar quatro 
cart6es, ficarei com seis cart6es cinza. Isto e: se eu tiver dez 
quartos e me forem retirados quatro quartos, ficarei com seis 
quartos. 
E registrou na lousa, como fizera antes com o exemplo 
de Alice: 
DDDDD 
D 0 0 1Z H:Z 
10 4 6 
4-4:::. 4 
r .. 
Em seguida, voltou-se para a classe e disse: 
- Observem se ainda existe alga que podemos fazer ... 
- Claro! Podemos simplificar o resultado! 
- Isso, Tafs! Quer vir a lousa? 
E ela explicou diante da classe: . 
- 0 maior numero quee divisor do seis e do quatro 
ao mesmo tempo eo doi s ... Ai e s6 dividir para simplificar: 
10 --
4 
4 
4 
6 .. 3 
4 .<J = z 
- Obrigado, Tais. Foi uma excelehte apresentac;ao. 
Como a classe se pusesse a murmurar pelo ]eito con-
vencido da Tais, Samuel passou ao resumo da materia: 
- Nao sc csque<;am ... Para samar ou subtrair fra<;6es 
com o mcsmo dcnominador, conservamos o dcnominador 
c somamos ou subtrafmos os numeradores. 
E passou uma serie de exercicios para que os alunos re-
solvcsscm nos cadernos, lembrando que deveriam simplifi-
car os resultados scmprc que passive!. 
....7_ + j_ + _9_ :::. 11_ 
5 5 5 5 
1·0 +.£= 
g 8 
16 :8 2 
8 ·s -= T 
2 1 -+-= '3 g 
15 9 
6-6= 
3 :3 - 1 
9 :3 - 3 
6 6 1 
6 :6 =- T 
17+_1 =18:2 =2._ 
16 16 16 :2 8 
1 
11 
11:11 
II ', 
II~' 
II 
' ' 
~ 
/ 9 
Ao trabalho / 
ISl 
amuel andava muito curiosa de conhecer dona 
Rosa, pois os garotos s6 falavam dela. E dona 
Rosa, de conhece-lo, porque notava bern o cari-
nho com que os jovens se referiam ao professor. 
A oportunidade surgiu com a necessidade 
das compras. 0 grupo precisava ir a cidade 
adquirir os quatrocentos e tantos metros de mangueira, al-
gumas ferramentas e sementes. Mais que depressa, Samuel 
colocou 0 fusquinha a disposi<;:ao. 
No sabado, foram as compras, a bordo do veiculo su-
perlotado. E, como esperavam, o primeiro encontro entre 
o amigo e a mulher foi cereado da maior alegria. 
Tambem seu Luis e dona Ofelia, pais de Beto e Tais, 
prestaram sua eolabora<;:ao, despachando um dos emprega-
dos para o sitio vizinho, a fim de consertar uns peda<;:os de 
cerca, trocar as telhas quebradas da casa e instalar a man-
guetra. 
Na segunda-feira, finalmente, logo ap6s a volta da es-
cola, OS jovens puseram maOS a obra. 
- Onde e que eu cavo? - adiantou-se Lino, disposto . 
- A divisao ja foi feita ... E s6 pegar a sua quarta par-
te - respondeu Tais. 
- E ... Mas assim, sem uma divisao real, fica dificil sa-
ber onde come<;ar e onde parar: 
- Humm .. . Pela disposi<;ao, Lino vai fazer toda a parte 
dele hoje ... - ironizou Alice. 
- Espera ai, Alice ... Lino tern razao! A primeira coisa 
que temos a fazer e delimitar a area a ser cultivada ... Preci-
samos de uma marca<;ao concreta. 
- Como faremos essas marca<;oes?- quis saber Lino. 
Os componentes do grupo puserarh-se a procurar em 
volta por algo que pudesse servir, mas Alice tinha a solu<;:ao. 
- Vamos precisar de barbante. 
- 6tima icteia - aplaudiu Beto. 
E Tais lembrou-se: 
- Dona Rosa tern urn rolo de barbante guardado la na 
gaveta da mesa. Eu a vi cortar urn peda<;o, outro dia. 
De fato, a mulher dispunha do material necessaria, urn 
novelo inteiro, que comprara na intui<;ao de que ainda servi-
ria para alguma coisa. 
-- Usem a vontade! Daqui a pouco, eu OS chama para 
o cafe com broa de milho! 
- Oba! Broa de milho? 
- Que alegria e essa, Lino? N6s viemos aqui para co-
mer ou para trabalhar? - censurou Tais. 
Dirigidos por Alice, Beto e Lino fincaram estacas de ma-
deira e esticaram os fios, delimitando os varios canteiros. 
- Pronto ... Os canteiros ja estao demarcados ... - mos-
trou Lino. 
- E .. . Acho que chegou a hora de cavar. .. - falou 
Be to. 
- Tambem desconfio que as cenouras nao vao se en-
fiar pelo chao sozinhas ... - brincou Tais. 
- Poxa ... Esse chao esta mesmo seco ... - observou 
Lino, tentando com a enxada. 
Beto pisoteava o solo com o calcanhar da bota e pare-
cia concordar com o amigo, que brincou: 
- Continue batendo, Beto... Quem sa be a terra 
amolcce? 
- Nao precisa pisotear ... - contrariou Alice. - E s6 
jogar agua! 
- Que agua? - indagou Lino, procurando a sua volta. 
Alice olhou-o e perguntou: 
- Para que voce acha que n6s compramos a manguei-
ra, hein, Lino? 
- Ora, para molhar as plantas! 
Falou e imediatamente percebeu a tolice que dissera. An-
tes que o assunto se prolongasse, convidou Beto e foram bus-
car o equipamento. 
- Puxa, Alice ... Voce sabe mesmo das coisas ... - cum-
primentou Tais. 
- Eu tenho de saber; sempre ajudei os meus pais no 
plantio... · 
-E ... N6s nunca passamos perto de uma enxada ... -
reconheceu Tais, meio encabulada. 
A nissei percebeu e justificou, rindo: 
- Ora, isso e natural, Tais ... Os pais de voces tern ne-
g6cios na cidade. Nao vivem como n6s, exclusivamente da 
terra. 
- Ainda bern, Alice, ainda bern! - Nao fosse a sua 
experiencia, nao sei se valeria a pena ... - comentou Beta, 
de passagem. 
Mal ele falou e chegou dona Rosa animada: 
- N6s conseguiremos, garoto, ponha isso na sua ca-
be<;a! E com os conheeimentos da Alice sera, sem duvida, 
mais facil! 
51 
r-
- Claro que conseguiremos - confirmou Tais. 
- A senhora pode contar comigo, dona Rosa! Eu vou 
ate o fim! - prometeu Lino. 
- N6s chegaremos Ia, juntos! Voces verao! Antes de 
tocar o projeto pra frente, que tal tomar urn cafe com broa? 
Nao foi preciso urn novo convite. Desceram todos atras 
eta mulher, em dire<;:ao a cozinha. 
Deno10inadores 
diferentes 
om dia, turma. Preparem-se todos, que hoje tern 
novidade. 
A classe cessou o burburinho c clirigiu a at.cn-
<;:ao para Samuel. ' 
- N6s ja aprendemos a somar c a subt.rair 
fra<;:6es como mesmo denominador. Hojc, vamos 
descobrir como proccder com dcnominadores clif'ercnte~. 
Enquanto falava, ja pegou clois cart6es c, moslrando 
para a classe, interrogou: 
B 
~· t "r-; t.' ' . . . 1' .. l') 
' ~,) • ' ,'f ~ 
~; f, .,,, ;,.._,... . • • • 
~h·'!;l;4 ,,(:;,; 
\'k ,J'F.f«/~;, • n I ,l'< 
~,, /fJi.§LIIJ'l':.Ji\' ' lt rr-t , 
- Que fra~ao resulta dessa soma entre urn meio e urn 
quarto? 
A classe fez silencio e demorou para que alguem ar-
riscasse. 
- E urn sexto? - tentou Guilherme. 
Samuel pegou urn sexto e colocou no paine!, ao !ado 
etas frq<;:6es que queria somar. 
- 0 que voces acham? A soma de urn meio e um quarto 
resulta um sexto? 
- Claroque nao! Urn sexto e ate menor que urn quar-
to! - interveio Beto com seguran~a. 
- Entao, deve ser dois sextos - retrucou Marcelao. 
E Samuel comparou novamente: 
- Bem ... Voces dcvcm estar notanda que a ideia de so-
mar os dcnominadores csla errada ... 
- 0 problema c que n6s s6 aprendcmos a somar fra-
<;:6cs com o mesmo clenominador! - falou Tais. 
- E, Samuel. .. N6s s6 aprendemos a so mar partes do 
mcsmo Lamanho! - acrcsccntou Alice. 
Samuel riu com a perplcxiclade etas garotas c concorclou: 
- E vcrclacle, voces tem razao ... No cntanto, podemos 
fazcr Lrocas por fra<;:6cs cquivalentcs. Por que voces nao pro-
curam na ca ixa de cart6cs alguma possibiliclacle? 
Os a lunos aceitaram a sugcstao c logo pcrccberam qual 
era a saicla. 
- N6s poclemos trocar um marrom por do is cinza ... 
Ou seja, trocar a fra<;:ao urn meio pela fra<;:ao dois quartos 
- dcscobriu Bcto. - Nao e isso, Samuel? 
- Sim. Dcssa forma, poderemos somar com o outro 
um quarto, pois ai teremos fra<;:6es com o mesmo denomi-
nador, ou seja, todas as partes terao o mesmo tamanho -
cone I uiu Samuel. 
E dizcnclo isso, foi ate o paine!, onde fixou os cart6es 
e escreveu o seguinte: 
E continuou: 
1 
2 
l I' .01 • ' I~ •; l~f ' . f .· ~ ; { ·· . .... 
:· .. . ::4·"\·• ·: 
. ' ' tr •'-' t• 
- Depois de efetuada a troca de um meio por sua equi-
valente dois quartos, temos o seguinte: 
1 
. 4 
53 
' 'r 1111 
,II 
ljll 
I 
-_,._ .. 
>---------------------------------------------------------~--------------------------------------------------~ 
E todos gostaram muito de como tudo foi feito. E logo 
a seguir Samuel propos outra questao: 
-- Vamos somar dois nonos com urn ten;o ... 
-- Quer que eu pegue os cartoes referentes a essas fra-
r;:oes? -- ofereceu-se Alice. 
-- Sim, claro, e ponha-os no paine!, por favor. .. 
tE 
~+..!__= 
9 3 
Ass im que a garota colocou no paine!, Tais mani-
festou-se: 
-- Essa esta facil ! E s6 trocar urn terr;:o por trcs nonos 
e ja poderemos somar! 
Alice procedeu a substituir;:ao e ao calculo: 
tE 
.!.. 
t3 
_!.._ 
9 
1 
9 
2 3 5 -+-=-g 9 g 
-- Muito bem-- elogiou Samuel. -- Pode voltar ao seu 
Iugar. .. 
E falou,entao, para a classe: 
-- Voces notaram que bastou trocar uma das fra<;:oes 
por outra equivalente, para que ambas ficassem com o mes-
mo denominador e passassem a representar partes do mes-
mo tamanho. Dessa forma, podemos entao somar os 
numeradores ... Entretanto, nem sempre e tao simples assim ... 
E dizendo isso, propos nova atividade, pegando as se-
guintes fra<;:oes: 
-- Como podemos somar essas duas fra<;:oes? 
-- Vai ser dific il -- reclamou Tais. -- Acho que nao 
da para trocar meios por terr;:os ou te rr;:os por meios?! 
-- Voce tern razao-- concordou Samuel. --Para so-
mar essas frar;:oes nao basta transformar somente uma de-
las. Na verdade, teremos de encontrar urn novo denominador 
para as duas frar;:oes ... Peguem os cartoes e ten tern desco-
brir o caminho. 
Varios alunos correram aos cartoes e, depois de algum 
tempo, Lino mostrou: 
-- Sera que e isso? Se eu trocar tudo por cartoes bege, 
acho que da certo. Estarei trocando tudo por sextos e 
mostrou: 
• • 
-- Muito bern, Lino! Registre sua descoberta na lousa: 
1 1 -+-= 2 3 
3 2 5 -+-=--6 6 6 
Depois ·que o garoto resolveu, Samuel confirmou: 
-- Perfeito. Efetuando as trocas pelas fra<;:oes equiva-
lentes, com denominadores iguais, encontramos cinco sextos. 
Juliana nao se mostrava muito convencida. 
-- Se estou entendendo, a gente vai ter de adivinhar, 
cada vez que quiser calcular. .. 
- Nao, Juliana, nao tern nada aver com adivinha~ao. 
Os exemplos que nos trabalhamos podem nos dar as pistas ... 
- Pistas? Mostre ao menos uma, que eu nao estou ven-
do absolutamente nada. 
Samuel riu e pos-se a recapitular: 
- Nos trabalhamos com tres exemplos ... Certo? 
- Certo. 
- No primeiro, entre os denominadores dois e quatro, 
nos escolhemos o quatro. E notem que ele e multiplo de dois 
e dele mesmo . No segundo exemplo, entre o tres e o nove, 
escolhemos o nove, que e multiplo de tres e dele mesmo. E 
no terceiro, entre dois e tres, escolhemos o seis, que e multi-
plo do dois e do tres, simultaneamente. Certo? 
- Ate af estou acompanhando - concordou Juliana. 
- E daf? 
- Como vimos - continuou Samuel com a explica~;ao 
-, em cada caso, o novo denominador foi sempre m(iltiplo 
dos denominadores das fra~6es que queriamos so mar ... 
- Quer dizer que a chave e descobrir urn multiplo dos 
denominadores? - tentou Tafs. 
- Quase isso, Tafs. Se voces notarem bern, nos esco-
lhemos sempre o menor multiplo comum. Em seguida, so 
precisaremos encontrar os numeradores dessas fra<;6es equi-
valentes as anteriores ... Vamos ao exemplo . . . 
2. 4 -+-= 3 5 
- Como as fra~6es tern denominadores diferentes, pre-
cisamos encontrar urn novo denominador, igual para as duas 
fra<;6es - observou Beto. 
- Correto - concordou Samuel. - E qual eo menor 
multiplo comum de tres e cinco? 
- E quinze - respondeu a classe. 
Samuel gostou do desempenho e prosseguiu: 
- 0 proximo paSSO e descobrir OS numeradores de ca-
da uma das fra~6es equivalentes as anteFiores, cujo denomi-
nador seja o quinze ... 
Falou e escreveu: 
2 4 
3+-s= 
15 +15= 
Todo numero natural 
possui um conjunto 
infinito de multiplos, 
que resulta da multi-
plica<;:fio desse nume· 
ro pel a sequencia dos 
numeros naturais. 
Exemplos: 
Ml31 = ! 0, 3, 6, 
9, 12 .. I 
Ml101 = 10. 10, 
20, 30, 40 .. l 
Ml211 = JO, 21, 
42, 63, 84 .. l 
Dessa forma, pode-se 
dizer que a e multip/o 
de b, se a for divisive/ 
por b. 
- E agora voltamos a adivinha~ao? - indagou Lino. 
- Adivinhar seria mais dificil. Se o novo denomina-
dor e multiplo do denominador anterior, isso significa que 
o tres foi multiplicado por algum numero a fim de resultar 
quinze. Estou certo? 
A classe inteira concordou e ele passou a escrever: 
3x®= 15 
Ott 
15:3=® 
- s: entao? Qual e 0 numero? 
-Eo cinco! 
- Portanto, e so dividir o novo denominador pelo 
antigo ... 
- Dividir o novo denominador pelo antigo? - estra-
nhou algucm. 
E Samuel tornou a explica~ao: 
- Voces se lembram da propriedade fundamental das 
fra~6es? 
- Se multiplicarmos os termos de uma fra<;ao pelo mes-
mo numero, encontraremos uma fra<;ao equivalente- enun-
ciou Beto. 
- lsso mesmo! Entao, vamos Ia! N6s ja descobrimos 
que o antigo denominador tres foi multiplicado por cinco, 
resultando quinze, que eo novo denominador. Portanto, te-
mos agora de multiplicar o antigo numerador dois por cinco 
tambem. 
E assim procedeu: 
_g_ + _4_ == 
3 \ 5 
10 ) 
·, 15 -t 15 = 
- Notem que a fra~ao dez quinze avos e equivalente 
a fra~ao dois ter~os, porque dividir por tres e pegar duas par-
tes e 0 mesmo que dividir por quinze e pegar dez partes. 
E passou a comoletar a segunda fra~ao: 
·"'I' 
I 
~ ~ ) + E: ~) 
('10 '( 12 .-
\ -15 + \ 15 -
22 
15 
- Ao dividirmos o quinze pelo cinco, encontramos tres, 
que e o mesmo que descobrir por qual numero o cinco foi 
multiplicado. Esse resultado, tres, foi entao multiplicado pelo 
numerador e dessa forma encontramos doze quinze avos, que 
e equivalente a fra<;ao quatro quintos. 
- Dai, podemos somar as fra<;6es porque elas passa-
ram a ter o mesmo denominador - prosseguiu Tais. 
- E n6s podemos encontrar a solu<;ao, usando cart6es 
ou, en tao, calculando dessa forma ... - concluiu Beto. 
- Correto - concordou Samuel. - E como nem sem-
pre teremos cartoes, e importante saber calcular. Na verda-
de, eles serviram para nos dar as pistas para que chegassemos 
ate aqui. 
- E sea gente fizesse urn resumo de tudo isso? - pro-
pos Juliana. 
- Era isso mesmo que eu ia sugerir - disse Samuel, 
que foi ate a lousa e escreveu: 
SOMA DE fRA(:Of5 COM 
OENOMJNADORE5 OlfE.RE.NTE5 
1~) Encontrar o menor multtplo comw...,_ 
entre· 01, deno~LMdorM,. 
2~) E1.crt\Jtr o mliltLplo t-nconirado ~ 
-1u£i o f\OVO det1omi.r\a.dor da~ fra¢~ . 
3~Vividir eMe. det1omiMdor v.elo attitrior 
t multlplicar o re11Alta.do ~~CL 
divi~ao ptlo a.-tttgo nuwterador. 
4~) f?epo~ ~ obttr M fracB~ tqutvalet1-tti, 
lM.- anterwr~ com o wu~nto 
deKDmiM.ador1 .6o~ar ~ V\~ wteracJ.orf..i,. 
Para reduzir fracoes a 
um mesmo denomina-
dor e preciso: 
- determinar o me-
nor multiplo co-
mum aos denomi-
nadores; 
- para cada frar;ijo, 
efetuar a divisiio 
do multiplo encon-
trado pelo denomi-
nador e multiplicar 
o resultado obtido 
pelo numerador. 
·--------------------------------~ 
Registrado o resumo nos cadernos, Lino levantou a 
questao: 
- 6 Samuel. .. N6s podemos so mar mais de duas fra-
<;6es com denominadores diferentes? 
- Naturalmente. Basta transforma-las em fra<;6es equi-
valentes a cada uma delas que tenham o mesmo denomina-
dor. .. - e mudando de tom: - E por que mesmo as fra<;6es 
devem ter o mesmo denominador para efetuarmos adi<;6es 
ou subtra<;6es? 
- Para que as fra<;6es fiquem com as partes do mes-
mo tamanho - lembrou Tais. 
E Samuel confirmou: 
- Reduzimos as fra<;6es a urn mesmo denominador 
quando queremos soma-las porque s6 podemos realizar essa 
opera<;ao com partes iguais entre si. 
Aproveitando o interesse da classe, lan<;ou urn novo 
desafio: 
- Alguem pode me dizer como fazemos para subtrair 
fra<;6es que tenham denominadores diferentes? 
A resposta de Alice nao demorou a surgir: 
- Precisamos encontrar as fra<;6es equivalentes a ca-
da urn a de las com o mesmo denominador. 
- Precisamos encontrar o menor multiplo comum dos 
denominadores - lembrou Beto. 
- E ... - prosseguiu Alice. - Podemos fazer da mes-
ma maneira que fizemos com a soma. Dividimos o novo de-
nominador pelo anterior e multiplicamos o resultado da 
divisao pelo antigo numerador. 
- Excelente! - reagiu Samuel. - Entao, posso pro-
por urn exercicio? 
Enquanto falava, escreveu no quadro: 
2 1 
4-3== 
Depois, virando-se para a classe, convidou: 
- Beto ... Quer vir resolver? 
Beto foi ate a frente e come<;ou a explicar: 
- Primeiro, e preciso achar o menor multiplo comum 
de quatro e tres, que e doze. Dai, e s6 dividir o doze pelos 
denominadores e multiplicar pelos numeradores ... 
2 1 4-3= 
6 4 z 
12 - 12 == 12 
11 
- Muito bern- aprovou o professor.- Alguem tern 7 
algum coment<irio a fazer? • ,